Uma esfera dielétrica de raio
é colocada numa região do espaço com um campo elétrico
uniforme e paralelo ao eixo z. O dielétrico é linear, isotrópico e homogêneo com permissividade elétrica relativa & e não possui cargas externas. Obtenha o potencial eletrostático dentro e fora do dielétrico considerando o centro da esfera como a origem do sistema de coordenadas. (18 pontos)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto, tudo que veio no problema):
- Uma esfera de raio
e centro na origem é preenchida por um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo de permissividade relativa . - Não há cargas livres no problema (nenhuma carga externa dentro ou sobre a esfera).
- Há um campo elétrico externo uniforme
paralelo ao eixo (direção positiva de ao longo de ). - Pede-se: obter o potencial eletrostático \emph{dentro} e \emph{fora} do dielétrico, tomando a origem no centro da esfera.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio da esfera:
. - Campo uniforme ao infinito:
paralelo a . - Permissividade relativa do material:
. - Não há cargas livres.
Passo 2
Qual a equação que o potencial satisfaz e por quê.
- Como não há cargas livres em toda a região (dentro e fora), o potencial eletrostático
satisfaz a equação de Laplace:
- Vamos trabalhar em coordenadas esféricas
com simetria axial em torno do eixo (o problema não depende de por causa do campo uniforme ao longo de ). Assim a dependência será apenas em e .
Passo 3
Forma geral das soluções de Laplace com simetria axials (expansão em polinômios de Legendre).
- Em coordenadas esféricas, para uma solução independente de
, a solução geral regular em pode ser escrita como soma em ordem com polinômios de Legendre . - Para a região interna (
) a solução finita em tem a forma
- Para a região externa (
) a solução finita no infinito tem a forma
- Aqui
são constantes a determinar. Importante: .
Passo 4
Comportamento no infinito e implicação sobre os termos da expansão.
- No infinito o potencial deve representar o campo uniforme
ao longo de . O potencial de um campo uniforme é
- Portanto, em
só o termo com e dependência precisa corresponder a . Todos os termos com em devem ser nulos para evitar divergência ou comportamento errado no infinito. Assim, externamente só teremos contribuições com (o termo de dipolo também pode aparecer).
Passo 5
Regularidade no centro e conclusão sobre termos internos.
- No interior, a solução tem que ser finita em
. Os termos com não aparecem na região interna. Além disso, o campo aplicado é simples (dipolar), então apenas será necessário na prática (argumento de simetria: o campo externo impõe apenas um termo dipolar). - Conclusão: manteremos apenas
nas duas regiões.
Passo 6
Escrever as formas reduzidas das soluções (apenas
).
- Portanto, escrevemos com coeficientes desconhecidos
e :
- Observação: o termo
já representa o potencial do campo uniforme distante; é o termo de dipolo induzido pela esfera.
Passo 7
Condições de contorno na superfície
.
- Continuidade do potencial na superfície:
- Continuidade da componente normal de
(onde fora e dentro ). Como dentro e fora, a condição é
- Nestas equações o fator
cancela dos dois lados.
Passo 8
Escrever explicitamente as duas equações de contorno usando as formas das soluções.
- Continuidade do potencial em
:
Eliminar o fator comum
(válido para todo ângulo), obtemos
- Continuidade do deslocamento normal: primeiro calcule as derivadas radiais.
- Para
temos . - Para
temos .
- Para
- Aplicando a condição em
:
Simplificando (cancelando
):
Multiplicando por
:
Passo 9
Resolver o sistema linear para
e
.
- Da equação da continuidade do potencial temos:
- Substituir esta expressão para
na equação da continuidade do deslocamento:
- Desenvolvendo o lado direito:
- Reunir termos em
:
- Logo
Passo 10
Encontrar
usando
.
- Usando
e substituindo :
Passo 11
Escrever explicitamente os potenciais finais substituindo
e
.
- Potencial dentro (
):
- Potencial fora (
):