Uma esfera dielétrica de raio a é colocada numa região do espaço com um campo elétrico \mathrm{E}_{0} uniforme e paralelo ao eixo z. O dielétrico é linear, isotrópico e homogêneo com permissividade elétrica relativa & e não possui cargas externas. Obtenha o potencial eletrostático dentro e fora do dielétrico considerando o centro da esfera como a origem do sistema de coordenadas. (18 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto, tudo que veio no problema):
  • Uma esfera de raio a e centro na origem é preenchida por um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo de permissividade relativa \epsilon_r.
  • Não há cargas livres no problema (nenhuma carga externa dentro ou sobre a esfera).
  • Há um campo elétrico externo uniforme \mathrm{E}_0 paralelo ao eixo z (direção positiva de \mathrm{E}_0 ao longo de +z).
  • Pede-se: obter o potencial eletrostático \emph{dentro} e \emph{fora} do dielétrico, tomando a origem no centro da esfera.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio da esfera: a.
  • Campo uniforme ao infinito: \mathrm{E}_0 paralelo a z.
  • Permissividade relativa do material: \epsilon_r.
  • Não há cargas livres.

Passo 2

Qual a equação que o potencial satisfaz e por quê.
  • Como não há cargas livres em toda a região (dentro e fora), o potencial eletrostático \Phi(\mathbf{r}) satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^2 \Phi = 0.
  • Vamos trabalhar em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com simetria axial em torno do eixo z (o problema não depende de \varphi por causa do campo uniforme ao longo de z). Assim a dependência será apenas em r e \theta.

Passo 3

Forma geral das soluções de Laplace com simetria axials (expansão em polinômios de Legendre).
  • Em coordenadas esféricas, para uma solução independente de \varphi, a solução geral regular em r pode ser escrita como soma em ordem l com polinômios de Legendre P_l(\cos\theta).
  • Para a região interna ( r<a) a solução finita em r=0 tem a forma
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} A_l\, r^{\,l} P_l(\cos\theta).
  • Para a região externa ( r>a) a solução finita no infinito tem a forma
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(B_l\, r^{\,l} + C_l\, r^{-(l+1)}\right)P_l(\cos\theta).
  • Aqui A_l,B_l,C_l são constantes a determinar. Importante: P_1(\cos\theta)=\cos\theta.

Passo 4

Comportamento no infinito e implicação sobre os termos da expansão.
  • No infinito o potencial deve representar o campo uniforme \mathrm{E}_0 ao longo de z. O potencial de um campo uniforme \mathbf{E}_0=E_0\hat{z} é
\Phi_{\infty} = -E_0 r \cos\theta + \text{constante}.
  • Portanto, em \Phi_{\text{out}} só o termo com l=1 e dependência \propto r precisa corresponder a -E_0 r\cos\theta. Todos os termos com l\ge2 em B_l r^l devem ser nulos para evitar divergência ou comportamento errado no infinito. Assim, externamente só teremos contribuições com l=1 (o termo de dipolo \propto r^{-2} também pode aparecer).

Passo 5

Regularidade no centro e conclusão sobre termos internos.
  • No interior, a solução tem que ser finita em r=0. Os termos com r^{-(l+1)} não aparecem na região interna. Além disso, o campo aplicado é simples (dipolar), então apenas l=1 será necessário na prática (argumento de simetria: o campo externo impõe apenas um termo dipolar).
  • Conclusão: manteremos apenas l=1 nas duas regiões.

Passo 6

Escrever as formas reduzidas das soluções (apenas l=1).
  • Portanto, escrevemos com coeficientes desconhecidos A e C:
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=A\, r \,P_1(\cos\theta)=A\, r\cos\theta,
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)= -E_0\, r\cos\theta + C\, r^{-2}\,P_1(\cos\theta)= -E_0\, r\cos\theta + C\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
  • Observação: o termo -E_0 r\cos\theta já representa o potencial do campo uniforme distante; C/r^2 é o termo de dipolo induzido pela esfera.

Passo 7

Condições de contorno na superfície r=a.
  • Continuidade do potencial na superfície:
\Phi_{\text{in}}(a,\theta)=\Phi_{\text{out}}(a,\theta).
  • Continuidade da componente normal de \mathbf{D}=\epsilon_0 \epsilon \mathbf{E} (onde fora \epsilon=\epsilon_0 e dentro \epsilon=\epsilon_0 \epsilon_r). Como \mathbf{D}_r=\epsilon_0 \epsilon_r E_r dentro e \mathbf{D}_r=\epsilon_0 E_r fora, a condição é
\epsilon_r\left(-\frac{\partial \Phi_{\text{in}}}{\partial r}\right)_{r=a} = \left(-\frac{\partial \Phi_{\text{out}}}{\partial r}\right)_{r=a}.
  • Nestas equações o fator \epsilon_0 cancela dos dois lados.

Passo 8

Escrever explicitamente as duas equações de contorno usando as formas das soluções.
  • Continuidade do potencial em r=a:
A a \cos\theta = -E_0 a \cos\theta + C \frac{\cos\theta}{a^{2}}.
Eliminar o fator comum \cos\theta (válido para todo ângulo), obtemos
A a = -E_0 a + \frac{C}{a^{2}}.
  • Continuidade do deslocamento normal: primeiro calcule as derivadas radiais.
    • Para \Phi_{\text{in}}=A r\cos\theta temos \dfrac{\partial \Phi_{\text{in}}}{\partial r}=A\cos\theta.
    • Para \Phi_{\text{out}}=-E_0 r\cos\theta + C r^{-2}\cos\theta temos \dfrac{\partial \Phi_{\text{out}}}{\partial r}=-E_0\cos\theta -2C r^{-3}\cos\theta.
  • Aplicando a condição em r=a:
\epsilon_r\left(-A\cos\theta\right) = \left(-\left(-E_0\cos\theta -2C a^{-3}\cos\theta\right)\right).
Simplificando (cancelando \cos\theta):
-\epsilon_r A = E_0 + \frac{2C}{a^{3}}.
Multiplicando por -1:
\epsilon_r A = -E_0 - \frac{2C}{a^{3}}.

Passo 9

Resolver o sistema linear para A e C.
  • Da equação da continuidade do potencial temos:
A a = -E_0 a + \frac{C}{a^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{a^{2}} = a(A+E_0) \quad\Longrightarrow\quad C = (A+E_0)\,a^{3}.
  • Substituir esta expressão para C na equação da continuidade do deslocamento:
\epsilon_r A = -E_0 - \frac{2}{a^{3}} C = -E_0 - 2(A+E_0).
  • Desenvolvendo o lado direito:
\epsilon_r A = -E_0 -2A -2E_0 = -2A -3E_0.
  • Reunir termos em A:
\epsilon_r A + 2A = -3E_0 \quad\Longrightarrow\quad A(\epsilon_r + 2) = -3E_0.
  • Logo
A = -\frac{3}{\epsilon_r + 2}\,E_0.

Passo 10

Encontrar C usando A.
  • Usando C = (A+E_0)a^{3} e substituindo A:
C = \left(-\frac{3}{\epsilon_r+2}E_0 + E_0\right)a^{3} = E_0\left(\frac{\epsilon_r+2-3}{\epsilon_r+2}\right)a^{3} = E_0\left(\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}\right)a^{3}.

Passo 11

Escrever explicitamente os potenciais finais substituindo A e C.
  • Potencial dentro ( r<a):
\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=A r\cos\theta = -\frac{3}{\epsilon_r+2}E_0\, r\cos\theta.
  • Potencial fora ( r>a):
\Phi_{\text{out}}(r,\theta) = -E_0 r\cos\theta + C\frac{\cos\theta}{r^{2}} = -E_0 r\cos\theta + \frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta.

Resposta

\Phi_{\text{in}}(r,\theta)=-\dfrac{3}{\epsilon_r+2}\,E_0\,r\cos\theta
\Phi_{\text{out}}(r,\theta)=-E_0 r\cos\theta+\dfrac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}\,E_0\,\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta

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