Dê uma primitiva de f:
f(x)=x

Passo 1

O enunciado diz: “Dê uma primitiva de f: f(x)=x)”.\n
Informações dadas:
  • A função dada é f(x)=x.\n
    O que se pede:
  • Encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Em outras palavras, encontrar uma primitiva (ou integral indefinida) de f.

Passo 2

O que é uma primitiva (explicação didática):\n
  • Uma função F(x) é primitiva de f(x) se a derivada de F for f, isto é, F'(x)=f(x).\n
  • A notação habitual para a primitiva é \displaystyle \int f(x)\,dx = F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária (constante de integração). Essa constante aparece porque derivadas “apagam” constantes: se F é primitiva, então F+C também é, para qualquer constante C.

Passo 3

Regra prática que vamos usar (regra da potência para integrais):\n
  • Para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  • Por que isso funciona? Porque, lembrando da regra da potência para derivação, \dfrac{d}{dx} x^{m} = m x^{m-1}. Se escolhermos m=n+1, então \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \dfrac{n+1}{n+1} x^{(n+1)-1} = x^{n}. Logo \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^n.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso:\n
  • Aqui temos f(x)=x, que é x^1. Então n=1.\n
  • Usando a fórmula,
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Verificação (sempre bom checar na prova):\n
  • Derivando a candidata F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+C obtemos
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+\frac{d}{dx}\text{(C)}=\frac{2x}{2}+0 = x,
que é exatamente f(x). Portanto está correta.\n
  • Obs.: a constante C pode ser qualquer número real; todas as primitivas diferem por essa constante.

Passo 6

Resumo final e dica prática:\n
  • A primitiva de f(x)=x é \dfrac{x^{2}}{2}+C.\n
  • Dica para a prova: se ver \int x^{n}\,dx lembre-se de aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente (desde que n\neq -1). Sempre acrescente +C.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+C

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