Dê uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado pede: dê uma primitiva de
, onde
Informações relevantes dadas:
Não há outros dados; espera-se encontrar uma função
tal que
em um intervalo onde
está definida (note que
implica
).
Passo 2
Escolhemos o método da substituição (troca de variável) combinado com a regra da potência para integrais. Vou explicar por que:
é uma potência
de uma expressão linear em
; a substituição
simplifica a integral para a forma
, que sabemos integrar com a regra da potência. A substituição funciona quando a integral contém uma composição de função e sua derivada (ou algo proporcional a ela).
Passo 3
Façamos a substituição. Defina
Agora calcule a diferencial
. Derivando
em relação a
obtemos
portanto
Passo 4
Escreva a integral original usando
. Temos
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo
que ficou fora:
Passo 6
Volte à variável
substituindo
:
Vou verificar rapidamente derivando a resposta (isso serve para checar na prova): usando a regra da cadeia,
que é exatamente
. Está correto.
Passo 7
Observações finais para a prova (dicas práticas): sempre identifique a parte exterior (a potência) e a parte interior (a linear
) e veja se a derivada da parte interior aparece (aqui aparece como constante
); então a substituição
é natural. Lembre-se de incluir a constante de integração
e observar o domínio onde a primitiva vale (aqui
para a raiz real).