Dê uma primitiva de f:
f(x)=\sqrt{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede: dê uma primitiva de f, onde
f(x)=\sqrt{2 x+1}.
Informações relevantes dadas:
f(x)=(2x+1)^{1/2}.
Não há outros dados; espera-se encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) em um intervalo onde f está definida (note que 2x+1\ge0 implica x\ge-1/2).

Passo 2

Escolhemos o método da substituição (troca de variável) combinado com a regra da potência para integrais. Vou explicar por que: \sqrt{2x+1} é uma potência (2x+1)^{1/2} de uma expressão linear em x; a substituição u=2x+1 simplifica a integral para a forma \int u^{n}\,du, que sabemos integrar com a regra da potência. A substituição funciona quando a integral contém uma composição de função e sua derivada (ou algo proporcional a ela).

Passo 3

Façamos a substituição. Defina
u = 2x+1.
Agora calcule a diferencial du. Derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=2,
portanto
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.

Passo 4

Escreva a integral original usando u. Temos
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \int (2x+1)^{1/2}\,dx.
Substituindo u e dx obtemos
\int u^{1/2}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} que ficou fora:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 6

Volte à variável x substituindo u=2x+1:
\int \sqrt{2x+1}\,dx = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C.
Vou verificar rapidamente derivando a resposta (isso serve para checar na prova): usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}\right] = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(2x+1)^{1/2}\cdot 2 = (2x+1)^{1/2},
que é exatamente f(x). Está correto.

Passo 7

Observações finais para a prova (dicas práticas): sempre identifique a parte exterior (a potência) e a parte interior (a linear 2x+1) e veja se a derivada da parte interior aparece (aqui aparece como constante 2); então a substituição u=2x+1 é natural. Lembre-se de incluir a constante de integração C e observar o domínio onde a primitiva vale (aqui x\ge-1/2 para a raiz real).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2}+C

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