Considere os campos vetoriais:
\vec{E}(x, y, z)=\langle x y, y z, z x\rangle
\vec{B}(x, y, z)=\langle\sin (y z), \sin (x z), \sin (x y)\rangle
Considere que \vec{E}(x, y, z) seja um campo elétrico e que \vec{B}(x, y, z) um campo magnético
2) Concentração ou dispersão do campo elétrico
Calcule a divergência de \vec{E} no ponto:
Q=(1,2,3).
(\nabla \cdot \vec{E})(Q)=
Com base no resultado numérico, como podemos classificar o ponto?

Passo 1

O enunciado fornece os campos vetoriais
\vec{E}(x,y,z)=\langle x y,\; y z,\; z x\rangle
e pede para calcular a divergência de \vec{E} no ponto
Q=(1,2,3).
As perguntas são:
  1. Calcular (\nabla\cdot\vec{E})(Q).
  2. Com base no valor numérico obtido, classificar o ponto Q como de concentração ou de dispersão do campo elétrico.

Passo 2

Definição e ideia intuitiva do que é divergência: a divergência de um campo vetorial mede a taxa de “fluxo líquido” saindo de um ponto por unidade de volume — em outras palavras, se em torno do ponto o campo tende a sair (fonte) ou a entrar (sumidouro). A divergência de um campo \vec{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle é dada por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explicando as derivadas parciais: \frac{\partial F_1}{\partial x} significa derivar F_1 em relação a x, considerando y e z constantes. Mesmo que a função dependa de vários argumentos, ao calcular uma derivada parcial tratamos os outros como constantes.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao campo \vec{E}. Primeiro identifiquemos as componentes:
F_1(x,y,z)=x y,\qquad F_2(x,y,z)=y z,\qquad F_3(x,y,z)=z x.
Agora calculemos cada derivada parcial com cuidado e explicando cada passo.
Cálculo de \frac{\partial F_1}{\partial x}: para F_1=x y, tratando y como constante, a derivada de x é 1, então
\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Cálculo de \frac{\partial F_2}{\partial y}: para F_2=y z, tratando z como constante, a derivada de y é 1, então
\frac{\partial}{\partial y}(y z)=z.
Cálculo de \frac{\partial F_3}{\partial z}: para F_3=z x, tratando x como constante, a derivada de z é 1, então
\frac{\partial}{\partial z}(z x)=x.

Passo 4

Somando as três parcelas para obter a divergência geral:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}(y z)+\frac{\partial}{\partial z}(z x)=y+z+x.
Reorganizando,
\nabla\cdot\vec{E}=x+y+z.

Passo 5

Avalie a divergência no ponto Q=(1,2,3). Substituindo x=1, y=2, z=3 na expressão
\nabla\cdot\vec{E}(Q)=1+2+3=6.

Passo 6

Interpretação física e classificação do ponto: o valor obtido é \nabla\cdot\vec{E}(Q)=6, que é positivo. Um valor positivo de divergência significa que, em torno desse ponto, há um fluxo líquido saindo — o ponto se comporta como uma fonte do campo elétrico, ou seja, há dispersão do campo (o campo “se afasta” do ponto). Portanto classificamos Q como ponto de dispersão (ponto-fonte).

Resposta

(\nabla\cdot\vec{E})(Q)=6
Dispersão (ponto fonte do campo elétrico)

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