Verifique se
é uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede para verificar se
é uma primitiva de
. As informações fornecidas são:
-
. Observação: essa função está definida para . -
. Observação: essa função está definida para .
A pergunta clara é: será queé uma primitiva de ? Ou seja, existe um intervalo em que é diferenciável e satisfaz para todo desse intervalo?
Passo 2
Definição que precisamos usar (explicada devagar): dizer que
é primitiva de
num intervalo
significa que
Aqui devemos comparar a derivada de
com a própria função
no domínio comum. O domínio comum entre as duas funções é
(porque
exige
e
exige apenas
). Então precisamos checar se
para todo
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Primeiro reescrevo
numa forma que facilita usar a regra do poder:
Regra do poder (pequena aula): se
, então
. Essa fórmula vale para qualquer expoente real
quando estamos em pontos onde a função existe. Aplicando com
,
Expliquei cada passo: passei de
para derivada multiplicando pelo expoente e diminuindo o expoente em 1; depois reescrevi
como
.
Passo 4
Agora compare com
. A função dada é
. Não precisamos derivar
— queremos verificar se
(que já achamos) é igual a
. Temos portanto:
Para
ser primitiva de
precisaríamos ter
para todo
.
Passo 5
Uma forma simples e direta de ver que isso não ocorre é avaliar em um ponto conveniente, por exemplo
. Substituindo:
Como
, já temos um contraexemplo: em
a igualdade
falha. Logo
não é primitiva de
no intervalo
(nem em nenhum intervalo que contenha
).
Passo 6
Comentário útil para fixar a ideia (dica de prova e correção comum): muitos confundem as funções trocando papel. Na verdade a primitiva de
é
obtida por integração por partes; e a primitiva de
(quando
) é
. Aqui,
é a derivada de
(ou seja,
não integra para
), então a troca que alguns esperam está invertida.
Resposta
Não.
, portanto
não é primitiva de
.