Verifique se F é uma primitiva de f:
F(x)=\frac{1}{x}, f(x)=\ln x

Passo 1

O enunciado dá as funções F e f e pede para verificar se F é uma primitiva de f. As informações fornecidas são:
  • F(x)=\dfrac{1}{x}. Observação: essa função está definida para x\neq 0.
  • f(x)=\ln x. Observação: essa função está definida para x>0.
    A pergunta clara é: será que F é uma primitiva de f? Ou seja, existe um intervalo em que F é diferenciável e satisfaz F'(x)=f(x) para todo x desse intervalo?

Passo 2

Definição que precisamos usar (explicada devagar): dizer que F é primitiva de f num intervalo I significa que
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in I.
Aqui devemos comparar a derivada de F com a própria função f no domínio comum. O domínio comum entre as duas funções é x>0 (porque f exige x>0 e F exige apenas x\neq0). Então precisamos checar se F'(x)=f(x) para todo x>0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de F. Primeiro reescrevo F numa forma que facilita usar a regra do poder:
F(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}.
Regra do poder (pequena aula): se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n\,x^{n-1}. Essa fórmula vale para qualquer expoente real n quando estamos em pontos onde a função existe. Aplicando com n=-1,
F'(x)=(-1)\,x^{-2}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Expliquei cada passo: passei de x^{-1} para derivada multiplicando pelo expoente e diminuindo o expoente em 1; depois reescrevi x^{-2} como 1/x^{2}.

Passo 4

Agora compare com f. A função dada é f(x)=\ln x. Não precisamos derivar f — queremos verificar se F'(x) (que já achamos) é igual a f(x). Temos portanto:
F'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\qquad\text{e}\qquad f(x)=\ln x.
Para F ser primitiva de f precisaríamos ter -\dfrac{1}{x^{2}}=\ln x para todo x>0.

Passo 5

Uma forma simples e direta de ver que isso não ocorre é avaliar em um ponto conveniente, por exemplo x=1. Substituindo:
F'(1)=-\dfrac{1}{1^{2}}=-1,
f(1)=\ln 1=0.
Como -1\neq 0, já temos um contraexemplo: em x=1 a igualdade F'(x)=f(x) falha. Logo F não é primitiva de f no intervalo x>0 (nem em nenhum intervalo que contenha 1).

Passo 6

Comentário útil para fixar a ideia (dica de prova e correção comum): muitos confundem as funções trocando papel. Na verdade a primitiva de f(x)=\ln x é
\text{uma primitiva de }\ln x\text{ é }x\ln x - x + C,é
obtida por integração por partes; e a primitiva de 1/x (quando x>0) é \ln x + C. Aqui, F(x)=1/x é a derivada de -1/x (ou seja, F não integra para \ln x), então a troca que alguns esperam está invertida.

Resposta

Não. F'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\neq \ln x, portanto F não é primitiva de f.

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