Dê uma primitiva de f:
f(x)=\frac{2}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva de f, isto é, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). As informações dadas são:
  • f(x)=\dfrac{2}{x^{3}}.
  • A função está definida para x\neq 0 (pois x=0 dá divisão por zero).
    A nossa tarefa é achar uma função F(x) cujo derivada seja exatamente f(x).

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilite o uso das regras.
f(x)=\frac{2}{x^{3}} = 2x^{-3}.
Reescrever potências negativas assim é útil porque existe uma regra simples para primitivas de potências.

Passo 3

Lembrar a regra que vamos usar (explicada com calma): para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Nessa fórmula:
  • n é o expoente da potência;
  • C é uma constante arbitrária (porque derivada de uma constante é zero);
  • a condição n\neq -1 é necessária porque, se n=-1, o denominador n+1 seria zero; nesse caso especial sabemos que \int x^{-1}\,dx = \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
    Também usamos a propriedade da constante multiplicativa:
\int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx,
onde a é constante.

Passo 4

Aplicar as regras ao nosso caso: como f(x)=2x^{-3}, temos
\int 2x^{-3}\,dx = 2\int x^{-3}\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência com n=-3. Assim
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C.
Multiplicando por 2 (pela propriedade da constante),
\int 2x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} + C.

Passo 5

Verificar que a primitiva encontrada de fato dá f quando derivada:
tomemos G(x)=2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} + C. Calculando a derivada,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) = \frac{-2x^{-3}}{-2} = x^{-3},
e portanto
\frac{d}{dx}\!\left(2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} + C\right) = 2\cdot x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^{3}}.
Ou seja, a função que obtivemos é realmente uma primitiva de f. Note também que isso vale para x\neq 0.

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}}+C

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