Dê uma primitiva de
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva de
, isto é, encontrar uma função
tal que
. As informações dadas são:
-
. - A função está definida para
(pois dá divisão por zero).
A nossa tarefa é achar uma funçãocujo derivada seja exatamente .
Passo 2
Reescrever a função numa forma que facilite o uso das regras.
Reescrever potências negativas assim é útil porque existe uma regra simples para primitivas de potências.
Passo 3
Lembrar a regra que vamos usar (explicada com calma): para qualquer número real
diferente de
,
Nessa fórmula:
-
é o expoente da potência; -
é uma constante arbitrária (porque derivada de uma constante é zero); - a condição
é necessária porque, se , o denominador seria zero; nesse caso especial sabemos que .
Também usamos a propriedade da constante multiplicativa:
onde
é constante.
Passo 4
Aplicar as regras ao nosso caso: como
, temos
Agora aplicamos a regra da potência com
. Assim
Multiplicando por
(pela propriedade da constante),
Passo 5
Verificar que a primitiva encontrada de fato dá
quando derivada:
tomemos . Calculando a derivada,
tomemos
e portanto
Ou seja, a função que obtivemos é realmente uma primitiva de
. Note também que isso vale para
.