A primitiva da função
definida
é uma função
que satisfaz
. Podemos afirmar então que:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
е)
.
a)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar a primitiva da função $ f(x) = 2 \cos^2(x) $. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a função antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função é encontrar outra função cuja derivada dá a função original. No nosso caso, queremos encontrar $ F(x) $ tal que $ F’(x) = 2 \cos^2(x) $.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma $ \cos^2(x) $ em algo mais fácil de integrar. A identidade é:
Passo 4
Substituindo essa identidade na nossa função original:
Agora, nossa função para integrar fica mais simples: $ 1 + \cos(2x) $.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de 1 em relação a $ x $ é simplesmente $ x $.
Passo 6
Agora, para integrar $ \cos(2x) $, usamos a fórmula básica da integral de $ \cos(kx) $, que é:
No nosso caso, $ k = 2 $, então:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de $ C $ usando a condição dada: $ F(0) = 1 $.
Passo 8
Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ F(x) $:
Resposta
A primitiva da função é $ F(x) = x + \frac{1}{2} \sin(2x) + 1 $. Portanto, a alternativa correta é a letra c).