A primitiva da função f definida f(x)= 2 cos ^2(x) é uma função F que satisfaz F(0)=1. Podemos afirmar então que:
a) F(x)=x+12 sen(2 x);
b) F(x)=23 sen^3(x)+1
c) F(x)=x+12 sen(2 x)+1;
d) F(x)=23 sen^3(x);
е) F(x)=2 cos ^2(x)+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar a primitiva da função $ f(x) = 2 \cos^2(x) $. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a função antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função é encontrar outra função cuja derivada dá a função original. No nosso caso, queremos encontrar $ F(x) $ tal que $ F’(x) = 2 \cos^2(x) $.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma $ \cos^2(x) $ em algo mais fácil de integrar. A identidade é:
cos^2(x)

Passo 4

Substituindo essa identidade na nossa função original:
2 cos^2(x) = 2 ( 1 + cos(2x)2 ) = 1 + cos(2x)
Agora, nossa função para integrar fica mais simples: $ 1 + \cos(2x) $.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral (1 + cos(2x)) , dx = integral 1 , dx + integral cos(2x) , dx
A integral de 1 em relação a $ x $ é simplesmente $ x $.

Passo 6

Agora, para integrar $ \cos(2x) $, usamos a fórmula básica da integral de $ \cos(kx) $, que é:
cos(2x)
No nosso caso, $ k = 2 $, então:
cos(kx)

Passo 7

Juntando tudo, temos:
F(x) = x + 12 sin(2x) + C
Agora, precisamos encontrar o valor de $ C $ usando a condição dada: $ F(0) = 1 $.

Passo 8

Substituindo $ x = 0 $ na expressão de $ F(x) $:
x = 0

Resposta

A primitiva da função é $ F(x) = x + \frac{1}{2} \sin(2x) + 1 $. Portanto, a alternativa correta é a letra c).

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