O valor m>0 a fim de que a área da região R delimitada pela parábola y=m x^2, no intervalo [0,2], seja igual a 4 unidades é dado por:
a) m=1 / 4;
b) m=1 / 2;
c) m=1;
d) m=3 / 2;
e) m=2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de áreas usando a parábola $ y = m x^{2} $. O objetivo é encontrar o valor de $ m $ tal que a área delimitada pela parábola entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $ seja igual a 4 unidades. Para isso, vamos usar a integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área sob a curva de uma função entre dois pontos pode ser encontrada através de uma integral definida. No nosso caso, a função é $ y = m x^{2} $ e queremos calcular a área de $ x = 0 $ até $ x = 2 $.

Passo 3

Vamos montar a integral que representa essa área:
Área = integral0^2 m x^2 , dx Á
Aqui, $ \int_{0}^{2} $ indica que estamos calculando a integral de 0 a 2, $ m x^{2} $ é a função que estamos integrando, e $ dx $ representa um pequeno incremento em $ x $.

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{3}}{3} $. Então, multiplicamos pelo coeficiente $ m $:
x^2 Á

Passo 5

Sabemos que essa área deve ser igual a 4 unidades. Então, podemos montar a equação:
8m3 = 4

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ m $:
m

Resposta

$ m = \frac{3}{2} $

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