PRIMITIVAS
H(x)=integral 3 e^x d x-integral tan (x) sec (x) d x+integral 3x^3 d x

Passo 1

Temos a função
H(x) = \int 3 e^{x},dx - \int \tan(x)\sec(x),dx + \int \frac{3}{x^{3}},dx.
O conteúdo aqui é integração indefinida (primitivas). Vamos precisar da propriedade da linearidade das integrais e das primitivas conhecidas de e^{x}, de \sec(x)\tan(x) e da regra da potência para x^{n}.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos H(x) em três partes:
H(x) = \int 3 e^{x},dx
  • \int \tan(x)\sec(x),dx
  • \int \frac{3}{x^{3}},dx.

Passo 3

Para a primeira integral, lembramos que integral e^x,dx = e^x + C. Então
integral 3 e^x,dx = 3 integral e^x,dx = 3 e^x + C1

Passo 4

Na segunda integral, notamos que a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x). Portanto
integral tan(x)sec(x),dx = sec(x) + C2

Passo 5

Para a terceira integral, aplicamos a regra da potência integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C (válido para n neq -1). Aqui temos n = -3, então
integral 3x^3,dx = 3 integral x^-3,dx = 3 cdot x^-2-2 + C3 = -32x^2 + C3

Passo 6

Somando os resultados e juntando as constantes em uma única constante C, obtemos a primitiva geral:

Resposta

H(x)=3e{x}-\sec(x)-\tfrac{3}{2x{2}}+C

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