Sejam f, g: R R definidas por f(x)=1 e
respectivamente. Mostre que,
g(u)=ll u+1, & se u neq 1 3, & se u=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o limite de $ g(f(x)) $ quando $ x $ se aproxima de $ p $ é diferente do limite de $ g(u) $ quando $ u $ se aproxima de 1. Vamos trabalhar com as funções dadas:
  • $ f(x) = 1 $
  • g(f(x))
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções compostas e usar a definição de limite para funções com casos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) $. Sabemos que $ f(x) = 1 $, então $ g(f(x)) = g(1) $. Olhando para a definição de $ g(u) $, quando $ u = 1 $, temos:
limx p g(f(x))
Como $ f(x) $ é sempre 1, independentemente de $ x $ se aproximar de $ p $, $ g(f(x)) $ sempre será 3. Portanto:
f(x) = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \lim_{u \rightarrow 1} g(u) $. Aqui, precisamos olhar para os valores de $ g(u) $ quando $ u $ se aproxima de 1, mas sem necessariamente ser igual a 1. Pela definição de $ g(u) $:
limu 1 g(u)
Então, se $ u $ está se aproximando de 1 mas não é igual a 1, podemos substituir na expressão:
g(u)

Passo 4

Agora que temos os dois limites calculados:
limx p g(f(x)) = 3
limu 1 g(u) = 2
Podemos ver que 3 é diferente de 2.

Resposta

Portanto, mostramos que $ \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) \neq \lim_{u \rightarrow 1} g(u) $.

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