Sejam
definidas por
e
respectivamente. Mostre que,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o limite de $ g(f(x)) $ quando $ x $ se aproxima de $ p $ é diferente do limite de $ g(u) $ quando $ u $ se aproxima de 1. Vamos trabalhar com as funções dadas:
- $ f(x) = 1 $
-
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções compostas e usar a definição de limite para funções com casos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) $. Sabemos que $ f(x) = 1 $, então $ g(f(x)) = g(1) $. Olhando para a definição de $ g(u) $, quando $ u = 1 $, temos:
Como $ f(x) $ é sempre 1, independentemente de $ x $ se aproximar de $ p $, $ g(f(x)) $ sempre será 3. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \lim_{u \rightarrow 1} g(u) $. Aqui, precisamos olhar para os valores de $ g(u) $ quando $ u $ se aproxima de 1, mas sem necessariamente ser igual a 1. Pela definição de $ g(u) $:
Então, se $ u $ está se aproximando de 1 mas não é igual a 1, podemos substituir na expressão:
Passo 4
Agora que temos os dois limites calculados:
Podemos ver que 3 é diferente de 2.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \lim_{x \rightarrow p} g(f(x)) \neq \lim_{u \rightarrow 1} g(u) $.