Questão 1: Um próton \left(\mathrm{H}^{+}\right)e um elétron ( \mathrm{e}^{-}) possuem a mesma velocidade \vec{v} ao entrarem em uma regiâo com campo magnético uniforme \vec{B}. Sabendo-se que a massa do próton é muito maior do que a massa do elétron, indique quais as possíveis trajetórias seguidas pelo elétron e pelo próton.

Passo 1

O enunciado dá um próton \mathrm{H}^+ e um elétron \mathrm{e}^- que entram com a mesma velocidade \vec v num campo magnético uniforme \vec B. O conteúdo é a força de Lorentz e o tipo de trajetória de partículas carregadas em campo magnético. Vamos usar a lei
\vec F = q\,\vec v\times \vec B
e a relação entre força centrípeta e movimento circular.

Passo 2

Como \vec F está sempre perpendicular a \vec v, a aceleração é centrípeta. Se \vec v for completamente perpendicular a \vec B, a partícula descreve um movimento circular num plano ortogonal a \vec B. Se houver também um componente de \vec v paralelo a \vec B, a trajetória é uma hélice, unindo rotação no plano perpendicular e avanço paralelo.

Passo 3

O raio de curvatura vale
r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B}
onde m é a massa, v_\perp a componente de \vec v perpendicular a \vec B e |q| o módulo da carga. Como m_{\mathrm p}\gg m_{\mathrm e}, temos
r_{\mathrm p}\gg r_{\mathrm e}\,,
ou seja, o próton descreve círculos (ou hélices) de raio muito maior que o do elétron.

Passo 4

O sinal da carga inverte o sentido da força: o próton ( q=+e) curva segundo a regra da mão direita para \vec v\times\vec B, e o elétron ( q=-e) curva no sentido oposto.

Passo 5

Portanto as possíveis trajetórias são:
  • Para \vec v\perp\vec B: círculos de raio r_{\mathrm e} (elétron) e r_{\mathrm p} (próton), com o elétron girando no sentido inverso ao do próton.
  • Para \vec v não totalmente perpendicular: hélices de raios r_{\mathrm e} e r_{\mathrm p}, novamente com sentidos de rotação opostos.

Resposta

O elétron descreve um círculo (ou hélice) de raio pequeno r_{\mathrm e}=m_{\mathrm e}v_\perp/(eB), girando num sentido; o próton descreve um círculo (ou hélice) de raio muito maior r_{\mathrm p}=m_{\mathrm p}v_\perp/(eB), girando no sentido oposto.

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