1. Encontre o comprimento e o centróide da curva C=C_{1} \cup C_{2}, onde
C_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x, 0 \leq x \leq 1\right\}
e
C_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 y+x=3,1 \leq x \leq 3\right\}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento total e o centróide de uma curva C formada pela união de duas retas: C_{1} é o segmento de reta de (0,0) a (1,1) (onde y=x), e C_{2} é o segmento de reta de (1,1) a (3,0) (onde 2y+x=3).
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco e de centróide de curva (centro de massa uniforme ao longo da curva).

Passo 2

Calcular o comprimento de cada segmento. Para C_{1} temos
L_{1}=\int_{0}^{1}\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\,dt
com x(t)=t, y(t)=t, logo \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. Portanto
L_{1}=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}.
Para C_{2} escrevemos x(t)=t, y(t)=\tfrac{3-t}{2}, t\in[1,3]. Então \tfrac{dx}{dt}=1, \tfrac{dy}{dt}=-\tfrac12 e
L_{2}=\int_{1}^{3}\sqrt{1^{2}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}}\,dt =\int_{1}^{3}\frac{\sqrt{5}}{2}\,dt =\frac{\sqrt{5}}{2}\,(3-1) =\sqrt{5}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int_{C}x\,ds e \displaystyle\int_{C}y\,ds separadamente em C_{1} e C_{2}.
Em C_{1}, temos ds=\sqrt{2}\,dt, x(t)=t, y(t)=t, t\in[0,1].
\int_{C_{1}}x\,ds =\int_{0}^{1}t\,\sqrt{2}\,dt =\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \int_{C_{1}}y\,ds =\int_{0}^{1}t\,\sqrt{2}\,dt =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Em C_{2}, ds=\frac{\sqrt{5}}{2}\,dt, x(t)=t, y(t)=\tfrac{3-t}{2}, t\in[1,3].
\int_{C_{2}}x\,ds =\int_{1}^{3}t\;\frac{\sqrt{5}}{2}\,dt =2\sqrt{5}, \quad \int_{C_{2}}y\,ds =\int_{1}^{3}\frac{3-t}{2}\;\frac{\sqrt{5}}{2}\,dt =\frac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Somando os comprimentos e os momentos:
L=L_{1}+L_{2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}, \quad \int_{C}x\,ds =\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{5}, \quad \int_{C}y\,ds =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto o centróide \bigl(\bar x,\bar y\bigr) é dado por
\bar x =\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}, \qquad \bar y =\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} =\frac12.

Resposta

Comprimento total: \sqrt{2}+\sqrt{5}. Centróide:
\bigl(\bar x,\bar y\bigr) =\Biggl(\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}},\;\frac12\Biggr).

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