O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz (
), no caso da
contração de comprimento.
contração de comprimento.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique a confirmação do princípio da correspondência para velocidades do nosso dia a dia (ou seja, quando
) no caso da contração de comprimento.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: (velocidade típica do cotidiano muito menor que a velocidade da luz
). Não foi dada mais informação numérica; devo usar a ideia da contração de comprimento e mostrar que, para
, o resultado da teoria relativística reduz-se ao comportamento clássico (sem contração observável).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Apresento primeiro o que é a contração de comprimento e defino as grandezas envolvidas (aula rápida sobre o conceito).
A contração de comprimento é um efeito da Relatividade Restrita: um objeto com comprimento medido em seu próprio referencial (ou seja, no referencial em que o objeto está em repouso) tem comprimento diferente quando medido por um observador em que o objeto se move com velocidade . As variáveis são:
A contração de comprimento é um efeito da Relatividade Restrita: um objeto com comprimento medido em seu próprio referencial (ou seja, no referencial em que o objeto está em repouso) tem comprimento diferente quando medido por um observador em que o objeto se move com velocidade
é o comprimento próprio do objeto (medido no referencial em que o objeto está em repouso);
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade
;
é a velocidade relativa entre observador e objeto;
é a velocidade da luz no vácuo.
Explicação intuitiva: na Relatividade, distâncias medidas ao longo da direção do movimento encolhem para o observador que vê o corpo se mover; o efeito depende de .
Explicação intuitiva: na Relatividade, distâncias medidas ao longo da direção do movimento encolhem para o observador que vê o corpo se mover; o efeito depende de
Passo 3
Escrevo a fórmula exata da contração de comprimento (esta é a equação fundamental que vamos aproximar):
Também é comum usar o parâmetro
definido por
, então a fórmula fica
Passo 4
Agora ensino como aproximar essa expressão quando
é muito pequeno (
), que corresponde a
. Usamos uma expansão em série (binomial ou Taylor) para a raiz quadrada. Para
pequeno temos a aproximação padrão:
Aqui
. Esta fórmula vem do desenvolvimento em série de
com
:
então, tomando
(pois temos
), obtemos a aproximação indicada. A ideia é: quando
é muito pequeno, os termos de ordem
e superiores são desprezíveis.
Passo 5
Aplico a aproximação à fórmula da contração. Com
temos
Logo
Reescrevendo em termos de
e
,
A variação absoluta do comprimento é
e a variação relativa (fração perdida) é
Observação importante (princípio da correspondência): ao fazer
(ou
) obtemos
. Assim a Relatividade dá a mesma resposta que a mecânica clássica (nenhuma contração mensurável) no regime de baixas velocidades — a confirmação pedida.
Passo 6
Para fixar a ideia com exemplos numéricos típicos do dia a dia (a conta é simples e mostra por que o efeito é desprezível):
Tomemos .
Tomemos
Exemplo A — caminhada lenta:
.
Para um objeto de
, a contração é
— absurdamente pequena.
Exemplo B — carro rápido:
(≈108 km/h).
Para
,
— também completamente desprezível.
Passo 7
Conclusão pedagógica e motivacional: a expansão mostra claramente que a correção relativística para comprimentos é da ordem de
. Para velocidades de todos os dias essa fração é minúscula, logo
com altíssima precisão. Isso é exatamente o que o princípio da correspondência exige: a teoria relativística reduz-se ao comportamento clássico quando
. Você não precisa se preocupar com contração de comprimento na Física do cotidiano — o efeito existe, mas é irrelevante numericamente.
Resposta
portanto
, que para
dá
e para
dá
(efeito desprezível).