O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz ( v \ll c ), no caso da
contração de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique a confirmação do princípio da correspondência para velocidades do nosso dia a dia (ou seja, quando v \ll c) no caso da contração de comprimento.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: v \ll c (velocidade típica do cotidiano muito menor que a velocidade da luz c). Não foi dada mais informação numérica; devo usar a ideia da contração de comprimento e mostrar que, para v\ll c, o resultado da teoria relativística reduz-se ao comportamento clássico (sem contração observável).

Passo 2

Apresento primeiro o que é a contração de comprimento e defino as grandezas envolvidas (aula rápida sobre o conceito).
A contração de comprimento é um efeito da Relatividade Restrita: um objeto com comprimento medido em seu próprio referencial (ou seja, no referencial em que o objeto está em repouso) tem comprimento diferente quando medido por um observador em que o objeto se move com velocidade v. As variáveis são:
L_0
é o comprimento próprio do objeto (medido no referencial em que o objeto está em repouso);
L
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto movendo-se com velocidade v;
v
é a velocidade relativa entre observador e objeto;
c
é a velocidade da luz no vácuo.
Explicação intuitiva: na Relatividade, distâncias medidas ao longo da direção do movimento encolhem para o observador que vê o corpo se mover; o efeito depende de v/c.

Passo 3

Escrevo a fórmula exata da contração de comprimento (esta é a equação fundamental que vamos aproximar):
L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
Também é comum usar o parâmetro \beta definido por \beta=\dfrac{v}{c}, então a fórmula fica
L = L_0\sqrt{1 - \beta^2}.

Passo 4

Agora ensino como aproximar essa expressão quando \beta é muito pequeno ( \beta \ll 1), que corresponde a v\ll c. Usamos uma expansão em série (binomial ou Taylor) para a raiz quadrada. Para x pequeno temos a aproximação padrão:
\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2} + \mathcal{O}(x^2).
Aqui x=\beta^2. Esta fórmula vem do desenvolvimento em série de (1+x)^n com n=\tfrac{1}{2}:
(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \cdots,
então, tomando x\to -x (pois temos 1-x), obtemos a aproximação indicada. A ideia é: quando x é muito pequeno, os termos de ordem x^2 e superiores são desprezíveis.

Passo 5

Aplico a aproximação à fórmula da contração. Com x=\beta^2 temos
\sqrt{1-\beta^2} \approx 1 - \frac{\beta^2}{2}.
Logo
L = L_0\sqrt{1-\beta^2} \approx L_0\left(1 - \frac{\beta^2}{2}\right).
Reescrevendo em termos de v e c,
L \approx L_0\left(1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right).
A variação absoluta do comprimento é
\Delta L = L - L_0 \approx -\frac{1}{2}L_0\frac{v^2}{c^2},
e a variação relativa (fração perdida) é
\frac{\Delta L}{L_0} \approx -\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}.
Observação importante (princípio da correspondência): ao fazer v\to 0 (ou \beta\to 0) obtemos L\to L_0. Assim a Relatividade dá a mesma resposta que a mecânica clássica (nenhuma contração mensurável) no regime de baixas velocidades — a confirmação pedida.

Passo 6

Para fixar a ideia com exemplos numéricos típicos do dia a dia (a conta é simples e mostra por que o efeito é desprezível):
Tomemos c\approx 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Exemplo A — caminhada lenta: v=1\\ \mathrm{m/s}.
\beta=\frac{v}{c}=\frac{1}{3\times 10^{8}}\approx 3{,}33\times 10^{-9},
\beta^2\approx 1{,}11\times 10^{-17},
\frac{1}{2}\beta^2\approx 5{,}56\times 10^{-18}.
Para um objeto de L_0=1\\ \mathrm{m}, a contração é \Delta L\approx -5{,}6\times 10^{-18}\\ \mathrm{m} — absurdamente pequena.
Exemplo B — carro rápido: v=30\\ \mathrm{m/s} (≈108 km/h).
\beta=\frac{30}{3\times 10^{8}}=1{,}0\times 10^{-7},
\beta^2=1{,}0\times 10^{-14},
\frac{1}{2}\beta^2=5{,}0\times 10^{-15}.
Para L_0=1\\ \mathrm{m}, \Delta L\approx -5{,}0\times 10^{-15}\\ \mathrm{m} — também completamente desprezível.

Passo 7

Conclusão pedagógica e motivacional: a expansão mostra claramente que a correção relativística para comprimentos é da ordem de \dfrac{v^2}{c^2}. Para velocidades de todos os dias essa fração é minúscula, logo L\approx L_0 com altíssima precisão. Isso é exatamente o que o princípio da correspondência exige: a teoria relativística reduz-se ao comportamento clássico quando v\ll c. Você não precisa se preocupar com contração de comprimento na Física do cotidiano — o efeito existe, mas é irrelevante numericamente.

Resposta

L \approx L_0\left(1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right),\quad\text{para }v\ll c,
portanto \displaystyle\frac{\Delta L}{L_0}\approx -\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}, que para v=1\\ \mathrm{m/s} \approx -5{,}6\times10^{-18} e para v=30\\ \mathrm{m/s} \approx -5{,}0\times10^{-15} (efeito desprezível).

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