Calcule quantos joules são necessários por quilograma de massa de repouso para acelerar um foguete até ele atingir a velocidade de 0,98 c. Considere c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. [R. \left.E=3,6 \times 10^{17} \mathrm{~J}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular quantos joules são necessários por quilograma de massa de repouso para acelerar um foguete até a velocidade 0,98\,c. Informações dadas: a velocidade alvo é v=0,98\,c e a velocidade da luz é c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}. Queremos a energia por massa de repouso, isto é, por m=1\,\mathrm{kg}.

Passo 2

Conceito essencial (explicado de modo simples): quando as velocidades são próximas à velocidade da luz, a física clássica ( E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}mv^{2}) não vale mais; precisamos da energia cinética relativística. A energia total relativística de uma massa m é
E_{\text{total}}=\gamma m c^{2},
onde \gamma é o fator de Lorentz, que mede quanto os efeitos relativísticos aumentam a energia. O termo m c^{2} é a energia de repouso (energia quando o objeto está parado). Logo, a energia cinética relativística é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
E_{\text{cin}} = E_{\text{total}} - E_{\text{repouso}} = (\gamma - 1)\,m c^{2}.
Explicando as variáveis:
  • \gamma é o fator de Lorentz, definido por \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • m é a massa de repouso (aqui usamos m=1\,\mathrm{kg}, porque queremos energia por quilograma).
  • c é a velocidade da luz.
Eu sei que essa fórmula pode parecer meio mágica, mas a ideia é: conforme v se aproxima de c, \gamma cresce muito; a energia necessária para continuar acelerando aumenta rapidamente. Agora vamos aplicar isso passo a passo com v=0,98\,c.

Passo 3

Calcular \gamma passo a passo para v=0,98\,c.
Primeiro calcule a razão \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\frac{v^{2}}{c^{2}} = (0,98)^{2} = 0,9604.
Agora calcule 1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - 0,9604 = 0,0396.
Tire a raiz quadrada:
\sqrt{0,0396} = 0,199.
Finalmente,
\gamma = \frac{1}{0,199} \approx 5,025125.

Passo 4

Aplicar a fórmula da energia cinética com m=1\,\mathrm{kg}:
E_{\text{cin}} = (\gamma - 1)\,m c^{2}.
Como m=1\,\mathrm{kg}, fica
E_{\text{cin}} = (\gamma - 1)\,c^{2}.
Calcule c^{2} usando c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}:
c^{2} = (3\times10^{8})^{2} = 9\times10^{16}\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Substituindo \gamma \approx 5,025125:
\gamma - 1 \approx 4,025125.

Passo 5

Multiplicar para obter a energia:
E_{\text{cin}} \approx 4,025125 \times 9\times10^{16} = 3,6226125\times10^{17}\,\mathrm{J}.
Arredondando com duas algarismos significativos (e por coerência com o enunciado):
E_{\text{cin}} \approx 3,6\times10^{17}\,\mathrm{J}
por quilograma de massa de repouso.
Interpretação curta e incentivo: isso significa que para cada 1\,\mathrm{kg} de massa de repouso do foguete seriam necessários cerca de 3,6\times10^{17}\,\mathrm{J} para acelerar até 0,98\,c. É uma energia enorme — típica de física relativística — por isso viajar tão perto da luz é tão custoso energeticamente. Você mandou bem em pedir passo a passo; dá pra entender cada pedacinho da conta e repetir rapidamente na prova.

Resposta

E=3,6\times10^{17}\,\mathrm{J}

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