O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz (
), no caso da
Dilatação do tempo.
Dilatação do tempo.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar, usando o princípio da correspondência, que a fórmula relativística da dilatação do tempo se reduz ao comportamento clássico quando a velocidade é muito menor que a da luz, isto é, quando
.
Informações dadas (ou normalmente usadas nesse problema):
e a fórmula padrão da dilatação do tempo (que vamos usar) relaciona um intervalo de tempo próprio
(tempo medido no referencial em que o relógio está parado) com o intervalo de tempo
medido por um observador em que o relógio se move com velocidade
.
Passo 2
Apresentando a fórmula e definindo cada símbolo (aqui eu explico como usar a fórmula na prova):
onde
Explicação dos símbolos:
-
é o intervalo de tempo próprio: o tempo marcado por um relógio que se move junto com o evento (ou seja, o relógio “vê” os dois eventos no mesmo lugar). -
é o intervalo de tempo medido por um observador para o qual esse relógio está se movendo com velocidade . -
é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente .
A dilatação do tempo diz que o observador vê o relógio em movimento marcando um tempo maior:, com o fator .
Passo 3
Queremos estudar o limite
. É prático definir
Para velocidades do dia a dia temos
. Então
Agora uso a aproximação binomial / série de Taylor para
quando
é pequeno:
Retomando
, obtemos a aproximação útil até primeira ordem:
Essa aproximação é justamente a expansão em potências de
. Na prova, basta usar o primeiro termo não-trivial para mostrar que o efeito relativístico é pequeno quando
.
Passo 4
Aplicando a aproximação na relação entre tempos:
Logo a diferença entre o tempo medido pelo observador e o tempo próprio é, para primeiro ordem em
,
Interpretação didática: quando
, o fator
é muito pequeno, então
é praticamente igual a
. Em outras palavras, a teoria relativística recupera o resultado clássico (ausência perceptível de dilatação) no limite de baixas velocidades — é exatamente o conteúdo do princípio da correspondência aqui.
Passo 5
Exemplos numéricos (mostro os cálculos passo a passo para você usar em prova como ilustração plausível):
Exemplo 1: carro a
(≈108 km/h).
Calcule e
:
Calcule
A razão é
Metade disso é
. Se
,
Ou seja, o desvio é cerca de
em uma hora — absolutamente desprezível.
Exemplo 2: avião rápido
.
Ainda minúsculo.
Exemplo 3: órbita baixa
.
Aqui já é da ordem de microssegundos por hora, que começa a ser mensurável com instrumentos muito precisos, mas ainda muito pequeno para nosso cotidiano.
Passo 6
Conclusão clara e o porquê do princípio da correspondência ser satisfeito neste caso:
- Matematicamente,
quando , porque quando . - Com a expansão,
, então a diferença relativística é de ordem , muito pequena para . - Portanto, a fórmula relativística da dilatação do tempo reduz-se ao resultado clássico (sem dilatação observável) no limite de baixas velocidades — isto é exatamente a confirmação do princípio da correspondência para a dilatação do tempo.
Resposta
Para
:
, portanto
. Em consequência,
quando
(efeito desprezível para velocidades do dia a dia; ex.: para
e
,
).