O princípio da correspondência estabelece que teorias novas sobre a descrição da natureza devem conter teorias clássicas já confirmadas. Utilizando essa ideia, verifique sua confirmação para velocidades do nosso dia a dia, que é muito menor que a velocidade da luz ( v \ll c ), no caso da
Dilatação do tempo.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar, usando o princípio da correspondência, que a fórmula relativística da dilatação do tempo se reduz ao comportamento clássico quando a velocidade é muito menor que a da luz, isto é, quando \;v \ll c\;.
Informações dadas (ou normalmente usadas nesse problema):
v \ll c
e a fórmula padrão da dilatação do tempo (que vamos usar) relaciona um intervalo de tempo próprio \Delta \tau (tempo medido no referencial em que o relógio está parado) com o intervalo de tempo \Delta t medido por um observador em que o relógio se move com velocidade v.

Passo 2

Apresentando a fórmula e definindo cada símbolo (aqui eu explico como usar a fórmula na prova):
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação dos símbolos:
  • \Delta \tau é o intervalo de tempo próprio: o tempo marcado por um relógio que se move junto com o evento (ou seja, o relógio “vê” os dois eventos no mesmo lugar).
  • \Delta t é o intervalo de tempo medido por um observador para o qual esse relógio está se movendo com velocidade \;v\;.
  • c é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente \;c \approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\;.
    A dilatação do tempo diz que o observador vê o relógio em movimento marcando um tempo maior: \Delta t \ge \Delta \tau, com o fator \gamma.

Passo 3

Queremos estudar o limite \;v \ll c\;. É prático definir
x \coloneqq \frac{v^{2}}{c^{2}}.
Para velocidades do dia a dia temos x \ll 1. Então
\gamma = (1-x)^{-1/2}.
Agora uso a aproximação binomial / série de Taylor para (1-x)^{-1/2} quando x é pequeno:
(1-x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^{2} + \cdots.
Retomando x=\dfrac{v^{2}}{c^{2}}, obtemos a aproximação útil até primeira ordem:
\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} \qquad\text{(para }v\ll c\text{)}.
Essa aproximação é justamente a expansão em potências de \dfrac{v^{2}}{c^{2}}. Na prova, basta usar o primeiro termo não-trivial para mostrar que o efeito relativístico é pequeno quando v\ll c.

Passo 4

Aplicando a aproximação na relação entre tempos:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau \approx \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\Delta \tau.
Logo a diferença entre o tempo medido pelo observador e o tempo próprio é, para primeiro ordem em \dfrac{v^{2}}{c^{2}},
\Delta t - \Delta \tau \approx \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\;\Delta \tau.
Interpretação didática: quando v\ll c, o fator \dfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{c^{2}} é muito pequeno, então \Delta t é praticamente igual a \Delta \tau. Em outras palavras, a teoria relativística recupera o resultado clássico (ausência perceptível de dilatação) no limite de baixas velocidades — é exatamente o conteúdo do princípio da correspondência aqui.

Passo 5

Exemplos numéricos (mostro os cálculos passo a passo para você usar em prova como ilustração plausível):
Exemplo 1: carro a v=30\\ \mathrm{m/s} (≈108 km/h).
Calcule v^{2} e c^{2}:
v^{2}=30^{2}=900,\qquad c^{2}\approx(3\times10^{8})^{2}=9\times10^{16}.
A razão é
\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{900}{9\times10^{16}}=1\times10^{-14}.
Metade disso é \dfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=5\times10^{-15}. Se \Delta \tau = 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s},
\Delta t - \Delta \tau \approx 5\times10^{-15}\times3600 = 1{,}8\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.
Ou seja, o desvio é cerca de 1{,}8\times10^{-11}\\ \mathrm{s} em uma hora — absolutamente desprezível.
Exemplo 2: avião rápido v=250\\ \mathrm{m/s}.
v^{2}=62500,\qquad \frac{v^{2}}{c^{2}}\approx\frac{6{,}25\times10^{4}}{9\times10^{16}}\approx6{,}94\times10^{-13},
\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\approx3{,}47\times10^{-13},\qquad (\Delta t-\Delta \tau \text{ em 1 h})\approx3{,}47\times10^{-13}\times3600\approx1{,}25\times10^{-9}\\ \mathrm{s}.
Ainda minúsculo.
Exemplo 3: órbita baixa v=1\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
\frac{v^{2}}{c^{2}}\approx\frac{1\times10^{8}}{9\times10^{16}}\approx1{,}11\times10^{-9},
\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\approx5{,}56\times10^{-10},\qquad (\Delta t-\Delta \tau \text{ em 1 h})\approx5{,}56\times10^{-10}\times3600\approx2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Aqui já é da ordem de microssegundos por hora, que começa a ser mensurável com instrumentos muito precisos, mas ainda muito pequeno para nosso cotidiano.

Passo 6

Conclusão clara e o porquê do princípio da correspondência ser satisfeito neste caso:
  • Matematicamente, \gamma \to 1 quando v/c \to 0, porque (1-x)^{-1/2}\to1 quando x\to0.
  • Com a expansão, \gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{c^{2}}, então a diferença relativística é de ordem \dfrac{v^{2}}{c^{2}}, muito pequena para v\ll c.
  • Portanto, a fórmula relativística da dilatação do tempo reduz-se ao resultado clássico (sem dilatação observável) no limite de baixas velocidades — isto é exatamente a confirmação do princípio da correspondência para a dilatação do tempo.

Resposta

Para v\ll c: \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}, portanto \displaystyle \Delta t \approx \Delta \tau + \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Delta \tau. Em consequência, \Delta t\to\Delta \tau quando v/c\to0 (efeito desprezível para velocidades do dia a dia; ex.: para v=30\\ \mathrm{m/s} e \Delta \tau=1\\ \mathrm{h}, \Delta t-\Delta \tau\approx1{,}8\times10^{-11}\\ \mathrm{s}).

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