Considere o PVIF
& ut=K ux x+g(t), em mathscrR, & ux(0, t)=ux(L, t)=0, t>0 & u(x, 0)=f(x)
Mostre que a função v=u+G(t), onde G(t) é uma primitiva de g(t) com G(0)=0, satisfaz a um PVIF do tipo do Exemplo 1 da Secção 4.2. Escreva a solução do PVIF acima. Dê explicitamente essa solução no caso g(t)=cos w t e f(x)=0. Determine uma solução assintótica (a mais simples que você consiga!) do PVIF acima.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor e fronteiras iniciais (PVIF) para a equação do calor não homogênea em , 0<= x<= L com condições de Neumann e termo fonte g(t). Vamos usar transformação aditiva para reduzir ao caso homogêneo e depois aplicar expansão em séries de Fourier com autovetores do problema de Neumann.

Passo 2

Queremos eliminar o termo fonte g(t). Defina uma primitiva G de g por\
G(t)=integral0^t g(s),ds, G(0)=0
Então considere a nova função v(x,t)=u(x,t)-G(t). Calculando, temos\
vt=ut-G'(t)=K uxx+g(t)-g(t)=K uxx
e como vx=ux, as condições de contorno Neumann permanecem homogêneas. Além disso v(x,0)=f(x). Logo v satisfaz
vt=K vxx, vx(0,t)=vx(L,t)=0, v(x,0)=f(x),
um PVIF do calor clássico com Neumann.

Passo 3

Para resolver vt=K vxx usamos separação de variáveis e conhecemos os autovalores e autovetores do problema de Neumann em [0,L]:
phin(x)=cosl(npi x/Lr), lambdan=n^2pi^2L^2, n=0,1,2,dots
Expandindo f em série de cossenos,
f(x)=a0+sumn=1^inftyancosl(npi x/Lr),
onde
a0=1Lintegral0^L f(x),dx, an=2Lintegral0^L f(x)cosl(npi x/Lr),dx (n>=1)
A solução de v é então
v(x,t)=a0+sumn=1^inftyan e^-Klambdan tcosl(npi x/Lr)

Passo 4

Voltando a u, lembrando que u=v+G, obtemos a solução geral do PVIF não homogêneo:
u(x,t)=a0+sumn=1^inftyan e^-K n^2pi^2 t/L^2cosl(npi x/Lr)+integral0^t g(s),ds

Passo 5

No caso especial g(t)=cos(omega t) e f(x)=0, todos os an=0. Assim
u(x,t)=integral0^t cos(omega s),ds=1omegasin(omega t)

Passo 6

Para ttoinfty, os termos exponenciais em e^-K n^2pi^2 t/L^2 se apagam e a solução geral tende à componente de média espacial menos a primitiva de g. A solução assintótica mais simples é
uas(x,t)=a0+integral0^t g(s),ds

Resposta

Solução geral: u(x,t)=a0+sumn=1^inftyan e^-K n^2pi^2 t/L^2cos(npi x/L)+integral0^t g(s),ds, com a0=tfrac1Lintegral0^L f(x)dx, an=tfrac2Lintegral0^L f(x)cos(npi x/L)dx. Caso g(t)=cos(omega t),f=0: u(x,t)=tfrac1omegasin(omega t). Assintótica: uas(x,t)=a0+integral0^t g(s),ds.

Exercícios relacionados