Considere o PVIF
Mostre que a função
, onde
é uma primitiva de
com
, satisfaz a um PVIF do tipo do Exemplo 1 da Secção 4.2. Escreva a solução do PVIF acima. Dê explicitamente essa solução no caso
e
. Determine uma solução assintótica (a mais simples que você consiga!) do PVIF acima.
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor e fronteiras iniciais (PVIF) para a equação do calor não homogênea em ,
com condições de Neumann e termo fonte
. Vamos usar transformação aditiva para reduzir ao caso homogêneo e depois aplicar expansão em séries de Fourier com autovetores do problema de Neumann.
Passo 2
Queremos eliminar o termo fonte
. Defina uma primitiva
de
por\
Então considere a nova função
. Calculando, temos\
e como
, as condições de contorno Neumann permanecem homogêneas. Além disso
. Logo
satisfaz
um PVIF do calor clássico com Neumann.
Passo 3
Para resolver
usamos separação de variáveis e conhecemos os autovalores e autovetores do problema de Neumann em
:
Expandindo
em série de cossenos,
onde
A solução de
é então
Passo 4
Voltando a
, lembrando que
, obtemos a solução geral do PVIF não homogêneo:
Passo 5
No caso especial
e
, todos os
. Assim
Passo 6
Para
, os termos exponenciais em
se apagam e a solução geral tende à componente de média espacial menos a primitiva de
. A solução assintótica mais simples é
Resposta
Solução geral:
com
,
. Caso
:
. Assintótica:
.