Determine o comprimento de onda de de Broglie para:
um elétron com energia cinética de (i) 1,2 \mathrm{eV}, (ii) 12 eV , (iii) 120 eV ; e

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: determinar o comprimento de onda de de Broglie para um elétron com energia cinética em três casos:
    (i) \,1{,}2\\ \mathrm{eV}, (ii) \,12\\ \mathrm{eV}, (iii) \,120\\ \mathrm{eV}.
  • Dados explícitos: as três energias cinéticas acima (em electron-volt).
  • Constantes que vamos precisar (valores numéricos usados nos cálculos):
    • Constante de Planck: \,h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
    • Massa do elétron: \,m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
    • Conversão de energia: \,1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (a ideia física).
  • A hipótese de de Broglie diz que partícula com momento linear \,p tem comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p}.
  • Para energia cinética não-relativística (caso comum em problemas de graduação), a energia cinética \,K e o momento estão ligados por
K=\frac{p^{2}}{2m}\quad\Longrightarrow\quad p=\sqrt{2mK}.
  • Substituindo em \lambda=h/p obtemos a fórmula prática (não-relativística):
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mK}}.
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda de Broglie (em metros),
  • h é a constante de Planck (em \mathrm{J\,s}),
  • m é a massa da partícula (aqui massa do elétron, em \mathrm{kg}),
  • K é a energia cinética (em joules).

Passo 3

Verificação da aproximação não‑relativística.
  • A energia de repouso do elétron é \,m c^{2}\approx511\\ \mathrm{keV}=511000\\ \mathrm{eV}.
  • Nossas energias máximas são \,120\\ \mathrm{eV}, que são muitíssimo menores que 511000\\ \mathrm{eV}.
  • Portanto a aproximação clássica (não‑relativística) é perfeitamente adequada — podemos usar \,p=\sqrt{2mK}.

Passo 4

Converter as energias de \mathrm{eV} para \mathrm{J}.
  • Fator de conversão: \,1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calcular cada energia em joules:
\begin{aligned} K_{1}&=1{,}2\\ \mathrm{eV}=1{,}2\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}922611961\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\\[4pt] K_{2}&=12\\ \mathrm{eV}=12\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}922611961\times10^{-18}\\ \mathrm{J},\\[4pt] K_{3}&=120\\ \mathrm{eV}=120\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}922611961\times10^{-17}\\ \mathrm{J}. \end{aligned}]

Passo 5

Cálculo direto do comprimento de onda — forma prática com constante.
  • Para simplificar os cálculos repetidos, é útil extrair a parte constante que não depende de K:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mK}} =\frac{h}{\sqrt{2me}}\cdot\frac{1}{\sqrt{E_{\mathrm{(eV)}}}},
onde e é a carga elementar (para converter \mathrm{eV} em joules) e \,E_{\mathrm{(eV)}} é a energia em \mathrm{eV}.
Calculemos a constante numérica
C=\frac{h}{\sqrt{2me}}
com os valores indicados:
C\approx1{,}226\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
(Esse valor é obtido substituindo h, m e e nas unidades SI; é a forma prática que muitos livros usam: \lambda({\rm m})\approx1{,}226\times10^{-9}/\sqrt{E(\mathrm{eV})}.)
Agora aplicamos a fórmula \lambda=\dfrac{1{,}226\times10^{-9}}{\sqrt{E(\mathrm{eV})}}\\ \mathrm{m} a cada caso:
  • Caso (i): E=1{,}2\\ \mathrm{eV}
\sqrt{1{,}2}=1{,}095445\ldots\quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}=\frac{1{,}226\times10^{-9}}{1{,}095445}=1{,}12\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais usuais: \lambda_{1}=1{,}12\\ \mathrm{nm}=11{,}2\\ \mathrm{\AA}.
  • Caso (ii): E=12\\ \mathrm{eV}
\sqrt{12}=3{,}464102\ldots\quad\Rightarrow\quad \lambda_{2}=\frac{1{,}226\times10^{-9}}{3{,}464102}=3{,}54\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Ou seja: \lambda_{2}=0{,}354\\ \mathrm{nm}=3{,}54\\ \mathrm{\AA}.
  • Caso (iii): E=120\\ \mathrm{eV}
\sqrt{120}=10{,}954451\ldots\quad\Rightarrow\quad \lambda_{3}=\frac{1{,}226\times10^{-9}}{10{,}954451}=1{,}12\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Ou seja: \lambda_{3}=0{,}112\\ \mathrm{nm}=1{,}12\\ \mathrm{\AA}.
Observação prática e padrão: ao aumentar a energia por um fator 10, o comprimento de onda cai por fator \sqrt{10}. Aqui de 1{,}2 a 12 e a 120 isso fica evidente (cada passo reduz \lambda por \sqrt{10}).

Passo 6

Resumo rápido para a prova (dicas amigáveis).
  • Use sempre a fórmula \lambda=h/\sqrt{2mK} quando K\ll m c^{2} (não-relativístico).
  • Decore a forma útil para elétron: \lambda(\mathrm{m})\approx1{,}226\times10^{-9}/\sqrt{E(\mathrm{eV})}. Ela poupa trabalho e tempo na prova.
  • Não esqueça de verificar unidades e converter \mathrm{eV} para \mathrm{J} se for usar h e m diretamente.

Resposta

(i) \lambda=1{,}12\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=1{,}12\\ \mathrm{nm}
(ii) \lambda=3{,}54\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}354\\ \mathrm{nm}
(iii) \lambda=1{,}12\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}112\\ \mathrm{nm}

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