Determine o comprimento de onda de de Broglie para:
um elétron com energia cinética de (i)
, (ii) 12 eV , (iii) 120 eV ; e
um elétron com energia cinética de (i)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede: determinar o comprimento de onda de de Broglie para um elétron com energia cinética em três casos:
(i), (ii) , (iii) . - Dados explícitos: as três energias cinéticas acima (em electron-volt).
- Constantes que vamos precisar (valores numéricos usados nos cálculos):
- Constante de Planck:
. - Massa do elétron:
. - Conversão de energia:
.
- Constante de Planck:
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (a ideia física).
- A hipótese de de Broglie diz que partícula com momento linear
tem comprimento de onda
- Para energia cinética não-relativística (caso comum em problemas de graduação), a energia cinética
e o momento estão ligados por
- Substituindo em
obtemos a fórmula prática (não-relativística):
Aqui:
-
é o comprimento de onda de Broglie (em metros), -
é a constante de Planck (em ), -
é a massa da partícula (aqui massa do elétron, em ), -
é a energia cinética (em joules).
Passo 3
Verificação da aproximação não‑relativística.
- A energia de repouso do elétron é
. - Nossas energias máximas são
, que são muitíssimo menores que . - Portanto a aproximação clássica (não‑relativística) é perfeitamente adequada — podemos usar
.
Passo 4
Converter as energias de
para
.
- Fator de conversão:
.
Calcular cada energia em joules:
Passo 5
Cálculo direto do comprimento de onda — forma prática com constante.
- Para simplificar os cálculos repetidos, é útil extrair a parte constante que não depende de
:
onde
é a carga elementar (para converter
em joules) e
é a energia em
.
Calculemos a constante numérica
com os valores indicados:
(Esse valor é obtido substituindo
,
e
nas unidades SI; é a forma prática que muitos livros usam:
.)
Agora aplicamos a fórmula
a cada caso:
- Caso (i):
Em unidades mais usuais:
- Caso (ii):
Ou seja:
- Caso (iii):
Ou seja:
Observação prática e padrão: ao aumentar a energia por um fator 10, o comprimento de onda cai por fator
. Aqui de
a
e a
isso fica evidente (cada passo reduz
por
).
Passo 6
Resumo rápido para a prova (dicas amigáveis).
- Use sempre a fórmula
quando (não-relativístico). - Decore a forma útil para elétron:
. Ela poupa trabalho e tempo na prova. - Não esqueça de verificar unidades e converter
para se for usar e diretamente.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)