Um técnico de inspeção submarina na Baía de Todos os Santos observa, de dentro de um submersível com janela plana de vidro, um peixe aparentemente suspenso a
abaixo da superfície. A janela separa água (
) do ar interno (
1,00). O olho do observador está posicionado normalmente à interface (incidência paraxial).
DADOS
n1 (água) = 1,33 . }\mp@subsup{\textrm{n}}{2}{}(\textrm{ar})=1,0
Profundidade aparente: d’ = 0,60 m
a) Determine a profundidade real do peixe em relação à interface.
b) Explique, com base na Lei de Snell-Descartes, por que o objeto parece estar mais próximo do que realmente está.
c) Generalize a relação entre profundidade real d e aparente d’ para um dioptro plano e discuta o que ocorre quando
.
n1 (água) = 1,33 . }\mp@subsup{\textrm{n}}{2}{}(\textrm{ar})=1,0
Profundidade aparente: d’ = 0,60 m
b) Explique, com base na Lei de Snell-Descartes, por que o objeto parece estar mais próximo do que realmente está.
c) Generalize a relação entre profundidade real d e aparente d’ para um dioptro plano e discuta o que ocorre quando
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
- Índice de refração da água:
. - Índice de refração do ar (interior do submersível):
. - Profundidade aparente do peixe (medida pelo observador):
. - O olho do observador está posicionado normalmente à interface (incidência paraxial, ou seja, o eixo visual é perpendicular à superfície).
Perguntas do enunciado:
a) Determinar a profundidade real do peixe em relação à interface.
b) Explicar, com base na Lei de Snell-Descartes, por que o objeto parece estar mais próximo do que realmente está.
c) Generalizar a relação entre profundidade real e aparente
para um dioptro plano e discutir o que ocorre quando
.
a) Determinar a profundidade real
b) Explicar, com base na Lei de Snell-Descartes, por que o objeto parece estar mais próximo do que realmente está.
c) Generalizar a relação entre profundidade real
Passo 2
Relembrando a Lei de Snell-Descartes (regra básica de refração) e o que significam os ângulos usados:
- A Lei de Snell diz que, em qualquer ponto de refração,
onde:
-
é o índice do meio onde está o objeto (aqui: água), -
é o índice do meio onde está o observador (aqui: ar), -
é o ângulo entre o raio no meio 1 e a normal à superfície, -
é o ângulo entre o raio no meio 2 e a normal.
Explicação didática rápida: a Lei de Snell relaciona os ângulos do raio nos dois meios de acordo com os índices de refração. Se um raio vai de um meio mais denso para um menos denso (
), ele tende a “afastar-se” da normal (
). Se vai de menos denso para mais denso (
), ele “aproxima-se” da normal (
).
Passo 3
Construção geométrica e aproximação paraxial (pequenos ângulos) — por que podemos usar essa aproximação aqui:
- Considere um raio que parte do peixe (a profundidade real é
), atinge a superfície a uma distância lateral do ponto de interseção do eixo normal e refrata para o ar, saindo fazendo um ângulo com a normal. Quem olha (olho próximo ao eixo normal) interpreta esse raio como se viesse em linha reta do meio onde está observador, e ao traçar a linha reta de volta encontra a imagem aparente a uma profundidade . - Geometricamente (definições de tangente):
- Para raios paraxiais (pequenos ângulos) podemos usar a aproximação
Isso é a aproximação paraxial — válida porque o observador olha quase normal à superfície e os ângulos envolvidos são pequenos.
Passo 4
Usando a Lei de Snell com a aproximação paraxial e as expressões geométricas:
- Substituindo
e na Lei de Snell,
- Reescrevendo com as razões geométricas:
- Cancelando
(não nulo) obtemos a relação entre profundidades:
- Isolando
,
Esta é a relação clássica de profundidade aparente para um dioptro plano na aproximação paraxial: a profundidade aparente é proporcional à profundidade real com fator
.
Passo 5
Aplicando aos valores numéricos do problema (parte a):
- Usando
,
- Arredondando razoavelmente (duas casas significativas do dado 0,60):
Passo 6
Explicação física (parte b) — por que o peixe parece mais próximo:
- Como
, quando o raio passa da água para o ar ele se afasta da normal (pela Lei de Snell): . - Isso significa que, no ar, o raio fica mais inclinado em relação à normal. Quando o observador traça mentalmente esse raio em linha reta para trás (suposição que a luz viaja retilineamente num único meio), a interseção dessa reta com o eixo normal ocorre em uma profundidade menor
do que a profundidade real . - Em palavras simples: a refração “empurra” a direção aparente da origem do raio para cima, fazendo o peixe parecer mais raso do que é.
Passo 7
Generalização e discussão (parte c):
- Relação geral para um dioptro plano (apenas na aproximação paraxial):
Interpretação:
- Se
(objeto em meio mais denso que o do observador, como água ar), então e : o objeto aparece mais próximo (raso). - Se
(objeto em meio menos denso que o do observador, por exemplo objeto no ar visto de dentro da água), então e : o objeto aparece mais afastado (mais profundo) do que realmente está. - Limitações e observações:
- A fórmula é válida na aproximação paraxial (pequenos ângulos, observador perto do eixo normal). Para ângulos grandes, a posição aparente depende da direção do raio e não existe uma única profundidade aparente simples; aí é preciso usar a Lei de Snell sem aproximações e construir a imagem raio a raio.
- Um caso extremo: um raio exatamente ao longo da normal (
) não é refratado e para esse raio específico a imagem se forma na mesma profundidade real (mas essa é uma situação idealizada de um único raio; a aparência global segue a regra paraxial acima).
Resposta
a)
b) Porque, ao passar da água (
) para o ar (
), os raios se afastam da normal (
); a extrapolação em linha reta desses raios leva a uma imagem aparente mais próxima da superfície (
), fazendo o peixe parecer mais raso.
c) Relação generalizada (paraxial):
. Se
então
(o objeto parece mais profundo); se
então
(o objeto parece mais raso).