Num prisma triangular regular, a medida a da aresta da base é igual à medida h da altura do prisma. Sabendo-se que a área lateral é 10 cm^2, calcular a sua área total.

Passo 1

Temos um prisma triangular regular cuja aresta da base mede a e a altura do prisma h também vale a. Sabemos que a área lateral é dada e queremos calcular a área total. Vamos usar conceitos de área lateral de prismas e área de triângulo equilátero.

Passo 2

A área lateral de um prisma é o perímetro da base multiplicado pela altura do prisma. Aqui a base é um triângulo equilátero de aresta a, cujo perímetro é 3a, e a altura do prisma é h=a. Logo:
AL = perímetrotimes h = 3acdot a = 3a^2í
Como AL = 10,cm^2, temos
3a^2 = 10 Rightarrow a^2 = 103

Passo 3

O próximo passo é obter a área da base, que é um triângulo equilátero de lado a. A fórmula é
AB = raiz34,a^2
Substituindo a^2 = tfrac103, dá
AB = raiz34cdot103 = 10raiz312 = 5raiz36

Passo 4

Por fim, a área total do prisma é a soma da área lateral com duas vezes a área da base:
AT = AL + 2AB = 10 + 2cdot5raiz36 = 10 + 5raiz33
Em unidades de cm^2.

Resposta

AT = 10 + 5raiz33,cm^2.

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