Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a série
é uma série telescópica e mostrar que sua soma converge para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica e como simplificar frações usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao somar os termos, muitos deles se cancelam, “fechando como um telescópio”. Isso facilita muito encontrar a soma total da série.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que facilitem:
- Se
, então :
- Se
, então :
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Assim, a série fica:
Passo 8
Agora, vamos somar alguns termos para ver o que acontece:
Você pode notar que
e
se cancelam, o mesmo com
e
, e assim por diante. Isso é o efeito telescópico!
Passo 9
No final, todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Como a série vai até o infinito, o último termo negativo tende a zero.
Então, a soma da série é:
Resposta
A soma da série
converge para
.