Verifique que cada uma das séries a seguir é uma série telescópica e mostre que sua soma converge para o número indicado.
sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a série sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) é uma série telescópica e mostrar que sua soma converge para 12. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica e como simplificar frações usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao somar os termos, muitos deles se cancelam, “fechando como um telescópio”. Isso facilita muito encontrar a soma total da série.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração 1(2n-1)(2n+1) usando frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples:
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum (2n-1)(2n+1):
1 = A(2n+1) + B(2n-1)

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de n que facilitem:
  • Se n = 12, então 2n-1 = 0:
1 = A(2 cdot 12 + 1) Rightarrow 1 = A(2) Rightarrow A = 12
  • Se n = -12, então 2n+1 = 0:
1 = B(2 cdot -12 - 1) Rightarrow 1 = B(-2) Rightarrow B = -12

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a fração original:
1(2n-1)(2n+1) = 12(2n-1) - 12(2n+1)

Passo 7

Assim, a série fica:
sumn=1^infty ( 12(2n-1) - 12(2n+1) )

Passo 8

Agora, vamos somar alguns termos para ver o que acontece:
( 12 cdot 1 - 12 cdot 3 ) + ( 12 cdot 3 - 12 cdot 5 ) + ( 12 cdot 5 - 12 cdot 7 ) + dots
Você pode notar que -16 e +16 se cancelam, o mesmo com -110 e +110, e assim por diante. Isso é o efeito telescópico!

Passo 9

No final, todos os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Como a série vai até o infinito, o último termo negativo tende a zero.
Então, a soma da série é:
12 cdot 1 = 12

Resposta

A soma da série sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) converge para 12.

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