(Prob. 13, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane -
Edição)
Um determinado gás, à temperatura T e ocupando um volume V , é constituído de uma mistura de átomos, a saber,
átomos de massa
, cada um tendo uma velocidade média quadrática
, e
átomos de massa
cada um tendo uma velocidade média quadrática
. (a) Obtenha uma expressão para a pressão total exercida pelo gás. (b) Suponha agora que
e que os átomos diferentes se combinem a volume constante para formar moléculas de massa
. Assim que a temperatura voltar ao seu valor original, qual será a razão entre as pressões depois e antes da combinação?
Passo 1
O enunciado dá um gás à temperatura
e volume
formado por dois tipos de átomos:
átomos de massa
com velocidade média quadrática
, e
átomos de massa
com velocidade média quadrática
. As perguntas são:
(a) Obter uma expressão para a pressão total exercida pelo gás.
(b) Agora suponha que e que átomos diferentes se combinem (a volume constante) formando moléculas de massa
. Depois que a temperatura volta a ser
, qual é a razão entre a pressão depois da combinação e antes da combinação?
(a) Obter uma expressão para a pressão total exercida pelo gás.
(b) Agora suponha que
Informações relevantes listadas:
- Volume do recipiente:
. - Temperatura do gás (inicial e, no final do processo, a mesma):
. - Para o tipo s: número de átomos
, massa , velocidade média quadrática (ou seja ). - Para o tipo b: número de átomos
, massa , velocidade média quadrática (ou seja ). - No item (b) assume-se
e que cada par forma uma molécula AB de massa , mantendo o volume .
Passo 2
Vamos entender como a pressão aparece microscopicamente e obter a fórmula que vamos usar. Ideia chave (passo-a-passo): cada partícula colide com as paredes e, a cada colisão, transfere quantidade de movimento; a soma dessas transferências por unidade de tempo é a força sobre a parede; dividindo pela área obtemos a pressão. Vou derivar a forma usual sem pular etapas.
Considere um cubo de lado
(logo volume
) e uma partícula de massa
com componente de velocidade na direção
igual a
. Quando ela atinge uma face perpendicular ao eixo
ela sofre uma colisão elástica que inverte
para
. A variação de momento (quantidade de movimento) na colisão é
ou seja, a parede recebe
de momento por essa colisão.
A frequência com que essa partícula atinge uma dada face é: distância média entre colisões com a mesma face é
, então o tempo entre colisões é
. Assim a taxa de colisões (colisões por unidade de tempo) é
Multiplicando a variação de momento por colisão pela taxa de colisões obtemos a força média que essa partícula exerce sobre a face:
A pressão é força por área; a área da face é
, então a contribuição dessa partícula para a pressão é
Passo 3
Agora somamos a contribuição de todas as partículas. Para
partículas idênticas:
onde
é a média das componentes
das velocidades ao quadrado. Assumimos que as velocidades são isotrópicas (sem direção preferencial), então
Substituindo:
Aqui
é a velocidade média quadrática (o quadrado da velocidade rms).
Observação: essa é a fórmula padrão que liga pressão, número de partículas, massa e velocidade média quadrática.
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo anterior separadamente para cada espécie (s e b) e somando, porque pressões são aditivas:
Usando a notação do enunciado onde
e
, obtemos diretamente
— esta é a resposta natural para o item (a). Vou também mostrar uma forma alternativa útil usando a relação entre energia cinética média e temperatura.
Passo 5
Relação com a temperatura (útil para o item b). Para partículas monoatômicas em equilíbrio térmico à temperatura
vale a relação da energia cinética média:
onde
é a constante de Boltzmann. Dela segue
Usando isso na expressão do passo 4 (válido porque o enunciado diz que ambas as espécies estão à mesma temperatura
), temos
Isto é consistente com a forma macroscópica conhecida
(onde
). Bom, agora temos a expressão que vamos usar no item (b).
Passo 6
Resolver o item (b). Condições dadas:
. Os átomos se combinam aos pares (um do tipo s com um do tipo b) formando moléculas AB de massa
. Como havia
átomos do tipo s e
do tipo b, o número de moléculas formadas é
(cada molécula consome um átomo s e um átomo b). O volume é mantido em
. Depois a temperatura volta a
.
Vamos calcular pressão antes e depois e tomar a razão.
Pressão antes da combinação (já obtida):
usando
.
Pressão depois da combinação: agora temos
partículas (moléculas) cada uma com massa
. Pela relação de energia cinética média à temperatura
,
Pela fórmula do passo 3 (aplicada às moléculas),
Passo 7
Agora a razão pedida:
Interpretação simples: ao combinar pares a volume constante você passa de
partículas para
partículas; com a mesma temperatura cada partícula tem a mesma energia média térmica, então a pressão (proporcional ao número de partículas para dado
e
) fica pela metade.