(Prob. 13, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5{ }^{\text {a }} Edição)
Um determinado gás, à temperatura T e ocupando um volume V , é constituído de uma mistura de átomos, a saber, \mathrm{N}_{\mathrm{s}} átomos de massa \mathrm{m}_{\mathrm{s}}, cada um tendo uma velocidade média quadrática \mathrm{v}_{\mathrm{s}}, e \mathrm{N}_{\mathrm{b}} átomos de massa \mathrm{m}_{\mathrm{b}} cada um tendo uma velocidade média quadrática \mathrm{v}_{\mathrm{b}}. (a) Obtenha uma expressão para a pressão total exercida pelo gás. (b) Suponha agora que \mathrm{N}_{\mathrm{a}}=\mathrm{N}_{\mathrm{b}} e que os átomos diferentes se combinem a volume constante para formar moléculas de massa \mathrm{m}_{\mathrm{a}}+\mathrm{m}_{\mathrm{b}}. Assim que a temperatura voltar ao seu valor original, qual será a razão entre as pressões depois e antes da combinação?

Passo 1

O enunciado dá um gás à temperatura T e volume V formado por dois tipos de átomos: N_{\mathrm{s}} átomos de massa m_{\mathrm{s}} com velocidade média quadrática v_{\mathrm{s}}, e N_{\mathrm{b}} átomos de massa m_{\mathrm{b}} com velocidade média quadrática v_{\mathrm{b}}. As perguntas são:
(a) Obter uma expressão para a pressão total exercida pelo gás.
(b) Agora suponha que N_{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{b}} e que átomos diferentes se combinem (a volume constante) formando moléculas de massa m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}}. Depois que a temperatura volta a ser T, qual é a razão entre a pressão depois da combinação e antes da combinação?
Informações relevantes listadas:
  • Volume do recipiente: V.
  • Temperatura do gás (inicial e, no final do processo, a mesma): T.
  • Para o tipo s: número de átomos N_{\mathrm{s}}, massa m_{\mathrm{s}}, velocidade média quadrática v_{\mathrm{s}} (ou seja v_{\mathrm{s}}^2=\langle v^2\rangle_{\mathrm{s}}).
  • Para o tipo b: número de átomos N_{\mathrm{b}}, massa m_{\mathrm{b}}, velocidade média quadrática v_{\mathrm{b}} (ou seja v_{\mathrm{b}}^2=\langle v^2\rangle_{\mathrm{b}}).
  • No item (b) assume-se N_{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{b}} e que cada par forma uma molécula AB de massa m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}}, mantendo o volume V.

Passo 2

Vamos entender como a pressão aparece microscopicamente e obter a fórmula que vamos usar. Ideia chave (passo-a-passo): cada partícula colide com as paredes e, a cada colisão, transfere quantidade de movimento; a soma dessas transferências por unidade de tempo é a força sobre a parede; dividindo pela área obtemos a pressão. Vou derivar a forma usual sem pular etapas.
Considere um cubo de lado L (logo volume V=L^{3}) e uma partícula de massa m com componente de velocidade na direção x igual a v_{x}. Quando ela atinge uma face perpendicular ao eixo x ela sofre uma colisão elástica que inverte v_{x} para -v_{x}. A variação de momento (quantidade de movimento) na colisão é
\Delta p_x = p_{x,\text{final}}-p_{x,\text{inicial}} = (-m v_x) - (m v_x) = -2 m v_x,
ou seja, a parede recebe +2 m v_x de momento por essa colisão.
A frequência com que essa partícula atinge uma dada face é: distância média entre colisões com a mesma face é 2L, então o tempo entre colisões é \Delta t = 2L/|v_x|. Assim a taxa de colisões (colisões por unidade de tempo) é
\text{taxa} = \frac{|v_x|}{2L}.
Multiplicando a variação de momento por colisão pela taxa de colisões obtemos a força média que essa partícula exerce sobre a face:
F_{\text{partícula}} = (2 m v_x)\cdot\frac{|v_x|}{2L} = m \frac{v_x^2}{L}.í
A pressão é força por área; a área da face é A=L^2, então a contribuição dessa partícula para a pressão é
p_{\text{part}}=\frac{F_{\text{partícula}}}{A}=\frac{m v_x^2}{L\cdot L^2}=\frac{m v_x^2}{V}.í

Passo 3

Agora somamos a contribuição de todas as partículas. Para N partículas idênticas:
P=\frac{1}{V}\sum_{i=1}^{N} m v_{x,i}^{2} = \frac{N m \langle v_x^2\rangle}{V},
onde \langle v_x^2\rangle é a média das componentes x das velocidades ao quadrado. Assumimos que as velocidades são isotrópicas (sem direção preferencial), então
\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle = \frac{1}{3}\langle v^2\rangle.
Substituindo:
P = \frac{N m}{V}\cdot\frac{1}{3}\langle v^2\rangle = \frac{1}{3V} N m \langle v^2\rangle.
Aqui \langle v^2\rangle é a velocidade média quadrática (o quadrado da velocidade rms).
Observação: essa é a fórmula padrão que liga pressão, número de partículas, massa e velocidade média quadrática.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo anterior separadamente para cada espécie (s e b) e somando, porque pressões são aditivas:
P_{\text{total}} = \frac{1}{3V}\bigl(N_{\mathrm{s}} m_{\mathrm{s}} \langle v^2\rangle_{\mathrm{s}} + N_{\mathrm{b}} m_{\mathrm{b}} \langle v^2\rangle_{\mathrm{b}}\bigr).
Usando a notação do enunciado onde v_{\mathrm{s}}^2=\langle v^2\rangle_{\mathrm{s}} e v_{\mathrm{b}}^2=\langle v^2\rangle_{\mathrm{b}}, obtemos diretamente
\boxed{\,P=\frac{1}{3V}\bigl(N_{\mathrm{s}} m_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}}^{2} + N_{\mathrm{b}} m_{\mathrm{b}} v_{\mathrm{b}}^{2}\bigr)\,}
— esta é a resposta natural para o item (a). Vou também mostrar uma forma alternativa útil usando a relação entre energia cinética média e temperatura.

Passo 5

Relação com a temperatura (útil para o item b). Para partículas monoatômicas em equilíbrio térmico à temperatura T vale a relação da energia cinética média:
\frac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \frac{3}{2}kT,
onde k é a constante de Boltzmann. Dela segue
m\langle v^2\rangle = 3kT.
Usando isso na expressão do passo 4 (válido porque o enunciado diz que ambas as espécies estão à mesma temperatura T), temos
P=\frac{1}{3V}\bigl(N_{\mathrm{s}}\cdot 3kT + N_{\mathrm{b}}\cdot 3kT\bigr) = \frac{kT}{V}\bigl(N_{\mathrm{s}}+N_{\mathrm{b}}\bigr).
Isto é consistente com a forma macroscópica conhecida P V = N_{\text{total}} k T (onde N_{\text{total}}=N_{\mathrm{s}}+N_{\mathrm{b}}). Bom, agora temos a expressão que vamos usar no item (b).

Passo 6

Resolver o item (b). Condições dadas: N_{\mathrm{s}}=N_{\mathrm{b}}. Os átomos se combinam aos pares (um do tipo s com um do tipo b) formando moléculas AB de massa m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}}. Como havia N_{\mathrm{s}} átomos do tipo s e N_{\mathrm{b}}=N_{\mathrm{s}} do tipo b, o número de moléculas formadas é N_{\text{mol}}=N_{\mathrm{s}} (cada molécula consome um átomo s e um átomo b). O volume é mantido em V. Depois a temperatura volta a T.
Vamos calcular pressão antes e depois e tomar a razão.
Pressão antes da combinação (já obtida):
P_{\text{antes}} = \frac{kT}{V}\bigl(N_{\mathrm{s}}+N_{\mathrm{b}}\bigr) = \frac{kT}{V}\cdot(2N_{\mathrm{s}), }
usando N_{\mathrm{b}}=N_{\mathrm{s}}.
Pressão depois da combinação: agora temos N_{\text{mol}}=N_{\mathrm{s}} partículas (moléculas) cada uma com massa m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}}. Pela relação de energia cinética média à temperatura T,
(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}})\langle v_{\text{mol}}^{2}\rangle = 3kT.
Pela fórmula do passo 3 (aplicada às moléculas),
P_{\text{depois}} = \frac{1}{3V}\,N_{\text{mol}}\,(m_{\mathrm{s}}+m_{\mathrm{b}})\langle v_{\text{mol}}^{2}\rangle = \frac{1}{3V}\,N_{\mathrm{s}}\cdot 3kT = \frac{N_{\mathrm{s}} k T}{V}.

Passo 7

Agora a razão pedida:
\frac{P_{\text{depois}}}{P_{\text{antes}}} = \frac{\dfrac{N_{\mathrm{s}} k T}{V}}{\dfrac{2 N_{\mathrm{s}} k T}{V}} = \frac{1}{2}.
Interpretação simples: ao combinar pares a volume constante você passa de 2N_{\mathrm{s}} partículas para N_{\mathrm{s}} partículas; com a mesma temperatura cada partícula tem a mesma energia média térmica, então a pressão (proporcional ao número de partículas para dado T e V) fica pela metade.

Resposta

\displaystyle P=\frac{1}{3V}\bigl(N_{\mathrm{s}} m_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}}^{2} + N_{\mathrm{b}} m_{\mathrm{b}} v_{\mathrm{b}}^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{P_{\text{depois}}}{P_{\text{antes}}}=\tfrac{1}{2}

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