Prob. 1.2 Dois vetores são dados por: vec{a}=(4 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(3 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}+(1 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{k}} e vec{b}=(5 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(-2,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}. Na notação de vetor unitário, encontre (a) \vec{a}+\vec{b}

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores na notação de vetor unitário e pede para calcular a soma \vec{a}+\vec{b}. Os dados dados são:
  • \vec{a}=(4\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{i}}+(3\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{j}}+(1\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{k}}.
  • \vec{b}=(5\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{i}}+(-2,0\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{j}}.
O que se pede:
  • (a) Encontrar \vec{a}+\vec{b}.

Passo 2

Entendendo a notação: em \vec{v}=v_x\,\hat{\mathrm{i}}+v_y\,\hat{\mathrm{j}}+v_z\,\hat{\mathrm{k}},
  • v_x é a componente do vetor na direção x (multiplicada pelo vetor unitário \hat{\mathrm{i}}),
  • v_y é a componente na direção y (multiplicada por \hat{\mathrm{j}}),
  • v_z é a componente na direção z (multiplicada por \hat{\mathrm{k}}).
    Cada componente carrega a unidade (aqui metros, \text{m}). Para o vetor \vec{b} nota-se que não foi dada componente em \hat{\mathrm{k}}; isso significa que a componente z de \vec{b} é zero, ou seja, b_z=0\\ \text{m}.
Extraímos as componentes numéricas (peguei esses valores do enunciado):
  • Para \vec{a}: a_x=4\\ \text{m}, a_y=3\\ \text{m}, a_z=1\\ \text{m}.
  • Para \vec{b}: b_x=5\\ \text{m}, b_y=-2,0\\ \text{m}, b_z=0\\ \text{m}.

Passo 3

Regra de soma de vetores em notação de componentes: a soma é feita componente a componente. Em geral, se
\vec{u}=u_x\,\hat{\mathrm{i}}+u_y\,\hat{\mathrm{j}}+u_z\,\hat{\mathrm{k}}
e
\vec{v}=v_x\,\hat{\mathrm{i}}+v_y\,\hat{\mathrm{j}}+v_z\,\hat{\mathrm{k}},
então
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\,\hat{\mathrm{i}}+(u_y+v_y)\,\hat{\mathrm{j}}+(u_z+v_z)\,\hat{\mathrm{k}}.
Intuitivamente, isso corresponde a adicionar as projeções dos vetores em cada eixo; geometricamente é o mesmo que colocar vetores em sequência (regra do paralelogramo/triângulo).

Passo 4

Aplicando a regra às componentes que pegamos do enunciado:
  • Componente x:
a_x+b_x = (4\\ \text{m})+(5\\ \text{m}) = 9\\ \text{m}.
  • Componente y:
a_y+b_y = (3\\ \text{m})+(-2,0\\ \text{m}) = 1\\ \text{m}.
(obs.: usei o valor b_y=-2,0\\ \text{m} exatamente como estava no enunciado)
  • Componente z:
a_z+b_z = (1\\ \text{m})+(0\\ \text{m}) = 1\\ \text{m}.

Passo 5

Escrevendo a soma na notação de vetor unitário, juntando as componentes calculadas:
\vec{a}+\vec{b}=(9\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{i}}+(1\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{j}}+(1\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{k}}.

Resposta

\vec{a}+\vec{b}=(9\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{i}}+(1\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{j}}+(1\\ \text{m})\,\hat{\mathrm{k}}

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