Prob. 1.2 Dois vetores são dados por: vec{a}=(4 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(3 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}+(1 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{k}} e vec{b}=(5 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(-2,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}}. Na notação de vetor unitário, encontre (b) \vec{a}-\vec{b}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes dados do enunciado:
  • Vetor \vec{a} = (4\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{i}} + (3\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{j}} + (1\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{k}}.
  • Vetor \vec{b} = (5\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{i}} + (-2,0\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{j}}. (Não foi dado componente na direção \hat{\mathrm{k}}, logo essa componente é 0.)
    O enunciado pede calcular \vec{a}-\vec{b}.

Passo 2

O que significa um vetor escrito na notação de vetores unitários?
Um vetor em 3 dimensões é representado como
\vec{v} = v_x \hat{\mathrm{i}} + v_y \hat{\mathrm{j}} + v_z \hat{\mathrm{k}},
onde:
  • v_x é a componente do vetor na direção x (multiplicada pelo vetor unitário \hat{\mathrm{i}}),
  • v_y é a componente na direção y (multiplicada por \hat{\mathrm{j}}),
  • v_z é a componente na direção z (multiplicada por \hat{\mathrm{k}}).
    Cada componente tem a mesma unidade (aqui, metros \mathrm{m}).

Passo 3

Como subtrair vetores?
Subtração de vetores é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{a}=a_x\hat{\mathrm{i}}+a_y\hat{\mathrm{j}}+a_z\hat{\mathrm{k}} \quad\text{e}\quad \vec{b}=b_x\hat{\mathrm{i}}+b_y\hat{\mathrm{j}}+b_z\hat{\mathrm{k}},
então
\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\hat{\mathrm{i}}+(a_y-b_y)\hat{\mathrm{j}}+(a_z-b_z)\hat{\mathrm{k}}.
Intuitivamente, subtrair é o mesmo que somar o vetor oposto -\vec{b}.

Passo 4

Vou identificar explicitamente as componentes de \vec{a} e \vec{b} (peguei estes valores do enunciado):
a_x = 4\,\mathrm{m},\qquad a_y = 3\,\mathrm{m},\qquad a_z = 1\,\mathrm{m},
b_x = 5\,\mathrm{m},\qquad b_y = -2,0\,\mathrm{m},\qquad b_z = 0\,\mathrm{m}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da subtração componente a componente:
  • Componente em \hat{\mathrm{i}}:
a_x-b_x = 4\,\mathrm{m} - 5\,\mathrm{m} = -1\,\mathrm{m}.
  • Componente em \hat{\mathrm{j}}:
a_y-b_y = 3\,\mathrm{m} - (-2,0\,\mathrm{m}) = 3\,\mathrm{m} + 2,0\,\mathrm{m} = 5,0\,\mathrm{m}.
  • Componente em \hat{\mathrm{k}}:
a_z-b_z = 1\,\mathrm{m} - 0\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{m}.

Passo 6

Juntando as componentes obtidas, escrevo o vetor resultante na notação de vetores unitários:
\vec{a}-\vec{b} = (-1\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{i}} + (5,0\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{j}} + (1\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{k}}.

Resposta

\vec{a}-\vec{b} = (-1\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{i}} + (5,0\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{j}} + (1\,\mathrm{m})\hat{\mathrm{k}}

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