A probabilidade de que um aluno " A " resolva um certo problema é de
, e a probabilidade de que um aluno B resolva o mesmo é de 3/5. Se os dois tentam resolvé-lo isoladamente, qual a probabilidade de:
a) Ambos resolverem?
b) Ao menos um resolver?
a) Ambos resolverem?
b) Ao menos um resolver?
Passo 1
Dados fornecidos:
- A probabilidade de que o aluno
resolva o problema é . - A probabilidade de que o aluno
resolva o problema é . - Os dois tentam resolvê-lo isoladamente (isto é, a tentativa de cada um não influencia a do outro).
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que ambos resolvam o problema?
b) Qual a probabilidade de que ao menos um (pelo menos um dos dois) resolva o problema?
a) Qual a probabilidade de que ambos resolvam o problema?
b) Qual a probabilidade de que ao menos um (pelo menos um dos dois) resolva o problema?
Passo 2
Entendendo a palavra “isoladamente” e a regra que vamos usar: quando dois eventos são independentes (a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Em símbolos:
Aqui vamos assumir independência por causa de “isoladamente”. Explico: se a chance de
resolver não depende do que
faz, então multiplicamos.
Passo 3
Calcular a probabilidade de que ambos resolvam (usando a regra do passo anterior).
Agora fazemos a multiplicação de frações: multiplicamos numeradores e denominadores
Em seguida simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a probabilidade de ambos resolverem é
.
Passo 4
Agora vamos achar a probabilidade de que “ao menos um resolva”. Duas maneiras clássicas: usar a fórmula da união ou usar o complemento. Primeiro a fórmula da união (explicando o porquê): ao somar
contamos duas vezes os casos em que ambos resolvem, então subtraímos
. Em fórmula:
Aplicando os valores que já temos:
Passo 5
Continuando a conta do passo anterior, primeiro simplificamos
. Então
Para somar frações com denominadores diferentes, usamos um denominador comum (por exemplo
):
Somando:
Logo
.
Passo 6
Verificação via complemento (forma alternativa e muitas vezes prática na prova): a probabilidade de “ao menos um” é
menos a probabilidade de “nenhum” resolver. A probabilidade de nenhum resolver é o produto das probabilidades de cada um não resolver (pela independência):
Então
que confirma o resultado anterior. Boa: duas maneiras bateu certinho.
Resposta
a)
b)
b)