A probabilidade de que um aluno " A " resolva um certo problema é de 1 / 3, e a probabilidade de que um aluno B resolva o mesmo é de 3/5. Se os dois tentam resolvé-lo isoladamente, qual a probabilidade de:
a) Ambos resolverem?
b) Ao menos um resolver?

Passo 1

Dados fornecidos:
  • A probabilidade de que o aluno A resolva o problema é P(A)=\dfrac{1}{3}.
  • A probabilidade de que o aluno B resolva o problema é P(B)=\dfrac{3}{5}.
  • Os dois tentam resolvê-lo isoladamente (isto é, a tentativa de cada um não influencia a do outro).
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que ambos resolvam o problema?
b) Qual a probabilidade de que ao menos um (pelo menos um dos dois) resolva o problema?

Passo 2

Entendendo a palavra “isoladamente” e a regra que vamos usar: quando dois eventos são independentes (a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Em símbolos:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
Aqui vamos assumir independência por causa de “isoladamente”. Explico: se a chance de A resolver não depende do que B faz, então multiplicamos.

Passo 3

Calcular a probabilidade de que ambos resolvam (usando a regra do passo anterior).
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}.
Agora fazemos a multiplicação de frações: multiplicamos numeradores e denominadores
\frac{1\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{3}{15}.
Em seguida simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.
Portanto a probabilidade de ambos resolverem é \dfrac{1}{5}.

Passo 4

Agora vamos achar a probabilidade de que “ao menos um resolva”. Duas maneiras clássicas: usar a fórmula da união ou usar o complemento. Primeiro a fórmula da união (explicando o porquê): ao somar P(A)+P(B) contamos duas vezes os casos em que ambos resolvem, então subtraímos P(A\cap B). Em fórmula:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aplicando os valores que já temos:
P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{3}{5}-\frac{1}{5}.

Passo 5

Continuando a conta do passo anterior, primeiro simplificamos \dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5}. Então
P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{5}.
Para somar frações com denominadores diferentes, usamos um denominador comum (por exemplo 15):
\frac{1}{3}=\frac{5}{15},\qquad \frac{2}{5}=\frac{6}{15}.
Somando:
\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}.
Logo P(A\cup B)=\dfrac{11}{15}.

Passo 6

Verificação via complemento (forma alternativa e muitas vezes prática na prova): a probabilidade de “ao menos um” é 1 menos a probabilidade de “nenhum” resolver. A probabilidade de nenhum resolver é o produto das probabilidades de cada um não resolver (pela independência):
P(\text{nenhum})=(1-P(A))(1-P(B))=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{15}.
Então
P(\text{ao menos um})=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15},
que confirma o resultado anterior. Boa: duas maneiras bateu certinho.

Resposta

a) \dfrac{1}{5}
b) \dfrac{11}{15}

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