Em uma cidade onde se publicam três jornais - A, B e C -constatou-se que dentre 1000 famílias assinam: A-470; B420; C-315; A e B-110; A e C-220; B e C-140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
a) Não assine nenhum dos três jornais;
b) Assine apenas um dos três jornais;
c) Assine pelo menos dois jornais.

Passo 1

O enunciado dá os números de famílias (num universo de 1000 famílias) que assinam jornais A, B e C, e pede três probabilidades. As informações fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{Total de famílias: }1000\\\ &n(A)=470\\\ &n(B)=420\\\ &n\text{(C)}=315\\\ &n(A\cap B)=110\\\ &n(A\cap C)=220\\\ &n(B\cap C)=140\\\ &n(A\cap B\cap C)=75 \end{aligned}í
As perguntas que precisamos responder são:
a) Qual a probabilidade de uma família escolhida ao acaso não assinar nenhum dos três jornais?
b) Qual a probabilidade de assinar apenas um dos três jornais (ou seja, exatamente um)?
c) Qual a probabilidade de assinar pelo menos dois jornais (ou seja, exatamente dois ou exatamente três)?

Passo 2

Explicando a ideia importante que vamos usar (com calma e de forma didática): quando temos contagens de conjuntos que se sobrepõem, devemos usar a fórmula da inclusão-exclusão para obter o número de elementos que pertencem à união dos conjuntos. Para três conjuntos A,B,C a fórmula é:
n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n\text{(C)}-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).
Por que essa fórmula? Intuição rápida: somando n(A)+n(B)+n\text{(C)} contámos as interseções duas vezes, então subtraímos as interseções de pares; mas aí os elementos que estão nas três foram subtraídos três vezes (uma em cada par) depois de terem sido somados três vezes, então precisamos adicioná-los de volta uma vez. Essa fórmula é padrão e muito útil para problemas assim.

Passo 3

Vamos calcular o número de famílias que assinam pelo menos um dos jornais, ou seja n(A\cup B\cup C), aplicando a fórmula:
Somando os três: n(A)+n(B)+n\text{(C)}=470+420+315=1205.
Somando as interseções de pares: n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)=110+220+140=470.
Já temos n(A\cap B\cap C)=75. Portanto
\begin{aligned} n(A\cup B\cup C)&=1205-470+75\\\ &=735+75\\\ &=810. \end{aligned}

Passo 4

Agora a pergunta (a): “não assine nenhum dos três jornais” significa estar no complemento da união. O número de famílias que não assinam nenhum é
1000-n(A\cup B\cup C)=1000-810=190.
A probabilidade pedida é esse número dividido pelo total 1000, ou seja \dfrac{190}{1000}=0,19 (ou 19\%).

Passo 5

Para responder (b) “assine apenas um dos três jornais” precisamos contar quantas famílias estão em exatamente um conjunto. A maneira prática: para cada jornal calculamos “só A”, “só B”, “só C”. A fórmula para “só A” é
\text{só }A = n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C).ó
Explicação dessa fórmula: começamos com todos em A; subtraímos os que também estão em B e os que também estão em C (pois esses não são “só A”); porém quem está nos três (interseção tripla) foi subtraído duas vezes (uma ao remover A\cap B e outra ao remover A\cap C), então precisamos somar novamente n(A\cap B\cap C) para corrigir.

Passo 6

Calculemos “só A”, “só B” e “só C”:
\begin{aligned} \text{só }A&=470-110-220+75=215,\\\ \text{só }B&=420-110-140+75=245,\\\ \text{só }C&=315-220-140+75=30. \end{aligned}óóó
Somando, o número que assina exatamente um jornal é
215+245+30=490.
A probabilidade (b) é \dfrac{490}{1000}=0,49 (ou 49\%).

Passo 7

Para (c) “assine pelo menos dois jornais” significa assinar exatamente dois ou exatamente três. Podemos calcular de duas maneiras; aqui vamos computar explicitamente “exatamente dois” e somar com “exatamente três”.
Para cada par, o número que assina exatamente esses dois jornais (e não o terceiro) é
\text{exatamente }(A\cap B)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C),
e análogo para os outros pares. Calculando:
\begin{aligned} \text{exatamente }(A\cap B)&=110-75=35,\\\ \text{exatamente }(A\cap C)&=220-75=145,\\\ \text{exatamente }(B\cap C)&=140-75=65. \end{aligned}
Somando, o número que assina exatamente dois jornais é
35+145+65=245.
O número que assina exatamente três jornais já foi dado: 75. Logo o número que assina pelo menos dois jornais é
245+75=320.
A probabilidade (c) é \dfrac{320}{1000}=0,32 (ou 32\%).

Passo 8

Cheque rápido (auto-confiança): os totais devem bater com 1000:
\text{nenhum }190 + \text{só um }490 + \text{pelo menos dois }320 =190+490+320=1000.ó
Tudo fecha — ótimo!

Resposta

\dfrac{190}{1000}=0,19=19\%
\dfrac{490}{1000}=0,49=49\%
\dfrac{320}{1000}=0,32=32\%

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