Em uma cidade onde se publicam três jornais - A, B e C -constatou-se que dentre 1000 famílias assinam: A-470; B420; C-315; A e B-110; A e C-220; B e C-140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
a) Não assine nenhum dos três jornais;
b) Assine apenas um dos três jornais;
c) Assine pelo menos dois jornais.
a) Não assine nenhum dos três jornais;
b) Assine apenas um dos três jornais;
c) Assine pelo menos dois jornais.
Passo 1
O enunciado dá os números de famílias (num universo de
famílias) que assinam jornais A, B e C, e pede três probabilidades. As informações fornecidas são:
As perguntas que precisamos responder são:
a) Qual a probabilidade de uma família escolhida ao acaso não assinar nenhum dos três jornais?
b) Qual a probabilidade de assinar apenas um dos três jornais (ou seja, exatamente um)?
c) Qual a probabilidade de assinar pelo menos dois jornais (ou seja, exatamente dois ou exatamente três)?
a) Qual a probabilidade de uma família escolhida ao acaso não assinar nenhum dos três jornais?
b) Qual a probabilidade de assinar apenas um dos três jornais (ou seja, exatamente um)?
c) Qual a probabilidade de assinar pelo menos dois jornais (ou seja, exatamente dois ou exatamente três)?
Passo 2
Explicando a ideia importante que vamos usar (com calma e de forma didática): quando temos contagens de conjuntos que se sobrepõem, devemos usar a fórmula da inclusão-exclusão para obter o número de elementos que pertencem à união dos conjuntos. Para três conjuntos
a fórmula é:
Por que essa fórmula? Intuição rápida: somando
contámos as interseções duas vezes, então subtraímos as interseções de pares; mas aí os elementos que estão nas três foram subtraídos três vezes (uma em cada par) depois de terem sido somados três vezes, então precisamos adicioná-los de volta uma vez. Essa fórmula é padrão e muito útil para problemas assim.
Passo 3
Vamos calcular o número de famílias que assinam pelo menos um dos jornais, ou seja
, aplicando a fórmula:
Somando os três: .
Somando as interseções de pares: .
Já temos . Portanto
Somando os três:
Somando as interseções de pares:
Já temos
Passo 4
Agora a pergunta (a): “não assine nenhum dos três jornais” significa estar no complemento da união. O número de famílias que não assinam nenhum é
A probabilidade pedida é esse número dividido pelo total
, ou seja
(ou
).
Passo 5
Para responder (b) “assine apenas um dos três jornais” precisamos contar quantas famílias estão em exatamente um conjunto. A maneira prática: para cada jornal calculamos “só A”, “só B”, “só C”. A fórmula para “só A” é
Explicação dessa fórmula: começamos com todos em
; subtraímos os que também estão em
e os que também estão em
(pois esses não são “só A”); porém quem está nos três (interseção tripla) foi subtraído duas vezes (uma ao remover
e outra ao remover
), então precisamos somar novamente
para corrigir.
Passo 6
Calculemos “só A”, “só B” e “só C”:
Somando, o número que assina exatamente um jornal é
A probabilidade (b) é
(ou
).
Passo 7
Para (c) “assine pelo menos dois jornais” significa assinar exatamente dois ou exatamente três. Podemos calcular de duas maneiras; aqui vamos computar explicitamente “exatamente dois” e somar com “exatamente três”.
Para cada par, o número que assina exatamente esses dois jornais (e não o terceiro) é
e análogo para os outros pares. Calculando:
Somando, o número que assina exatamente dois jornais é
O número que assina exatamente três jornais já foi dado:
. Logo o número que assina pelo menos dois jornais é
A probabilidade (c) é
(ou
).
Passo 8
Cheque rápido (auto-confiança): os totais devem bater com
:
Tudo fecha — ótimo!