Uma uma contém 4 bolas brancas, 4 vermelhas e 2 azuis. Outra uma contém 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 3 azuis. Extrai-se uma bola de cada uma. Qual a probabilidade de que sejam da mesma cor?

Passo 1

O enunciado dá duas urnas e pede a probabilidade de que, ao extrair-se uma bola de cada urna, as duas bolas sejam da mesma cor. Informações fornecidas:
\text{Urna 1: }4\text{ brancas},\;4\text{ vermelhas},\;2\text{ azuis.}
\text{Urna 2: }5\text{ brancas},\;3\text{ vermelhas},\;3\text{ azuis.}
A ação: extrai-se uma bola de cada urna (uma da Urna 1 e uma da Urna 2). Pergunta: qual é a probabilidade de que as duas bolas tenham a mesma cor?

Passo 2

Vamos identificar os eventos que tornam as bolas da mesma cor. Esses eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo):
A = \{\text{ambas brancas}\}, \quad B = \{\text{ambas vermelhas}\}, \quad C = \{\text{ambas azuis}\}.
A probabilidade desejada é a soma das probabilidades desses eventos, porque são disjuntos:
\Pr(A\cup B\cup C)=\Pr(A)+\Pr(B)+\Pr\text{(C)}.
Explicação rápida do porquê: quando eventos são disjuntos, a chance de ocorrer um ou outro é a soma das chances individuais — não há interseção a contabilizar.

Passo 3

Agora calculamos as probabilidades marginais de tirar cada cor em cada urna. Primeiro, os totais de bolas:
\text{Total Urna 1} = 4+4+2 = 10, \qquad \text{Total Urna 2} = 5+3+3 = 11.
Probabilidades de cada cor em cada urna (razão: número de bolas da cor ÷ total da urna):
\Pr(\text{branca na Urna 1})=\Pr_{1}(W)=\frac{4}{10}, \quad \Pr(\text{vermelha na Urna 1})=\Pr_{1}(R)=\frac{4}{10}, \quad \Pr(\text{azul na Urna 1})=\Pr_{1}(B)=\frac{2}{10}.
\Pr(\text{branca na Urna 2})=\Pr_{2}(W)=\frac{5}{11}, \quad \Pr(\text{vermelha na Urna 2})=\Pr_{2}(R)=\frac{3}{11}, \quad \Pr(\text{azul na Urna 2})=\Pr_{2}(B)=\frac{3}{11}.
Observação didática: essas probabilidades são calculadas como “favorable/total”. Ex.: para Urna 1, há 4 bolas brancas entre 10 no total, então \Pr_{1}(W)=4/10.

Passo 4

As extrações são independentes (tiramos de urnas diferentes; o resultado de uma não afeta a outra), então a probabilidade de ocorrer A (ambas brancas) é o produto das probabilidades marginais:
\Pr(A)=\Pr_{1}(W)\cdot\Pr_{2}(W)=\frac{4}{10}\cdot\frac{5}{11}.
De modo análogo:
\Pr(B)=\Pr_{1}(R)\cdot\Pr_{2}(R)=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{11},
\Pr\text{(C)}=\Pr_{1}(B)\cdot\Pr_{2}(B)=\frac{2}{10}\cdot\frac{3}{11}.
Explicação da regra: para eventos independentes X e Y, \Pr(X\cap Y)=\Pr(X)\Pr(Y). Aqui “evento na Urna 1” e “evento na Urna 2” são independentes.

Passo 5

Somamos as três probabilidades (porque são disjuntas):
\Pr(\text{mesma cor})=\frac{4}{10}\cdot\frac{5}{11}+\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{11}+\frac{2}{10}\cdot\frac{3}{11}.
Fazendo as multiplicações no numerador:
\Pr(\text{mesma cor})=\frac{20}{110}+\frac{12}{110}+\frac{6}{110}=\frac{20+12+6}{110}=\frac{38}{110}.
Simplificando a fração dividindo por 2:
\Pr(\text{mesma cor})=\frac{19}{55}.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{55}

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