A probabilidade de um componente eletrônico de um computador falhar ( F) antes de 1000 horas de funcionamento é: 0,04 , se for da marca A1; 0,06, se for da marca A2; e, 10, se for da marca A3. Numa loja de manutenção, 20% dos componentes em estoque são da marca A1, 30% da marca A2 e 50% da marca A3. Um componente é escolhido ao acaso para o conserto de um computador. Determine a probabilidade:
(a) de que ele funcione perfeitamente por mais de 1000 horas, P(F^c);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de um componente eletrônico não falhar antes de 1000 horas de funcionamento, ou seja, funcionar perfeitamente por mais de 1000 horas. A matéria envolvida aqui é probabilidade, especialmente a probabilidade total. Para resolver, vamos precisar conhecer as probabilidades de falha de cada marca e a distribuição das marcas no estoque.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a probabilidade de o componente não falhar ( P(F^c)) é o complemento da probabilidade de falhar ( P(F)). Ou seja:
P(F^c) = 1 - P(F)

Passo 3

Como temos diferentes marcas com diferentes probabilidades de falha e proporções no estoque, usamos a Lei da Probabilidade Total. Essa lei nos ajuda a calcular a probabilidade total considerando todas as possíveis marcas. A fórmula fica assim:
P(F^c) = P(F^c | A1) cdot P(A1) + P(F^c | A2) cdot P(A2) + P(F^c | A3) cdot P(A3)

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa soma. Primeiro, encontramos a probabilidade de não falhar para cada marca:
  • Para a marca A1:
    P(F^c | A1) = 1 - 0,04 = 0,96
  • Para a marca A2:
    P(F^c | A2) = 1 - 0,06 = 0,94
  • Para a marca A3:
    P(F^c | A3) = 1 - 0,10 = 0,90

Passo 5

Agora, multiplicamos cada uma dessas probabilidades pelo peso de cada marca no estoque:
  • Marca A1:
    0,96 cdot 0,20 = 0,192
  • Marca A2:
    0,94 cdot 0,30 = 0,282
  • Marca A3:
    0,90 cdot 0,50 = 0,45

Passo 6

Somamos todos esses valores para obter a probabilidade total de o componente não falhar:
P(F^c) = 0,192 + 0,282 + 0,45 = 0,924

Resposta

A probabilidade de o componente funcionar perfeitamente por mais de 1000 horas é 0,924 ou 92,4%.

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