A probabilidade conjunta do processo soma de variáveis aleatórias iid,
, pode ser expressa como
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade conjunta
para
, onde
é o processo soma de variáveis aleatórias iid. As informações relevantes fornecidas são:
- Temos variáveis iid (independentes e identicamente distribuídas).
-
é a soma das primeiras variáveis (isto é, a soma até o tempo ). - Precisamos expressar
em termos de probabilidades de somas.
Passo 2
Definimos explicitamente a soma e o incremento entre
e
. Seja
a sequência iid e
Então
Podemos escrever a decomposição óbvia
onde
é a soma dos
incrementos após o tempo
.
Passo 3
Explique por que o incremento
é independente de
e tem a mesma distribuição que
.
- As variáveis que compõem
são . - As variáveis que compõem
são .
Como assão iid, esses dois conjuntos são disjuntos e independentes entre si. Portanto e são independentes.
Além disso, por identidade de distribuição (iid), a soma devariáveis novas tem a mesma distribuição de . Ou seja, .
Passo 4
Transformamos a probabilidade conjunta usando a decomposição:
Substituindo
, isso vira
Passo 5
Usamos a independência entre
e
. Como são independentes,
E como
tem a mesma distribuição que
,
Passo 6
Juntando tudo obtemos a expressão final:
Observação prática: se
estiver fora do suporte possível de
, a segunda probabilidade vale
, ficando tudo coerente.
Resposta
(b)