A probabilidade conjunta do processo soma de variáveis aleatórias iid, P[S[n]=i, S[n+k]=j], k>0, pode ser expressa como
Escolha uma opção:
◯ a. P[S[n]=i] P[S[n+k]=j+i]
◯ b. P[S[n]=i] P[S[k]=j-i]
◯ c. P[S[n]=i] P[S[n+k]=j]
◯ d. P[S[n]=i] P[S[n+k]=j-i]
◯ e. P[S[n]=i] P[S[k]=j]

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade conjunta \mathbb{P}[S[n]=i,\;S[n+k]=j] para k>0, onde S[\cdot] é o processo soma de variáveis aleatórias iid. As informações relevantes fornecidas são:
  • Temos variáveis iid (independentes e identicamente distribuídas).
  • S[n] é a soma das primeiras n variáveis (isto é, a soma até o tempo n).
  • Precisamos expressar \mathbb{P}[S[n]=i,\;S[n+k]=j] em termos de probabilidades de somas.

Passo 2

Definimos explicitamente a soma e o incremento entre n e n+k. Seja \{X_t\} a sequência iid e
S_n=\sum_{t=1}^{n} X_t.
Então
S_{n+k}= \sum_{t=1}^{n+k} X_t.
Podemos escrever a decomposição óbvia
S_{n+k} = S_n + (S_{n+k}-S_n),
onde S_{n+k}-S_n=\sum_{t=n+1}^{n+k} X_t é a soma dos k incrementos após o tempo n.

Passo 3

Explique por que o incremento \;S_{n+k}-S_n\; é independente de \;S_n\; e tem a mesma distribuição que \;S_k\;.
  • As variáveis que compõem S_n são \{X_1,\dots,X_n\}.
  • As variáveis que compõem S_{n+k}-S_n são \{X_{n+1},\dots,X_{n+k}\}.
    Como as X_t são iid, esses dois conjuntos são disjuntos e independentes entre si. Portanto S_n e S_{n+k}-S_n são independentes.
    Além disso, por identidade de distribuição (iid), a soma de k variáveis novas tem a mesma distribuição de S_k. Ou seja, S_{n+k}-S_n \stackrel{d}{=} S_k.

Passo 4

Transformamos a probabilidade conjunta usando a decomposição:
\mathbb{P}[S_n=i,\;S_{n+k}=j] = \mathbb{P}\big(S_n=i,\;S_n + (S_{n+k}-S_n)=j\big).
Substituindo Y:=S_{n+k}-S_n, isso vira
\mathbb{P}[S_n=i,\;Y=j-i].

Passo 5

Usamos a independência entre S_n e Y. Como são independentes,
\mathbb{P}[S_n=i,\;Y=j-i] = \mathbb{P}[S_n=i]\cdot\mathbb{P}[Y=j-i].
E como Y tem a mesma distribuição que S_k,
\mathbb{P}[Y=j-i]=\mathbb{P}[S_k=j-i].

Passo 6

Juntando tudo obtemos a expressão final:
\mathbb{P}[S_n=i,\;S_{n+k}=j] = \mathbb{P}[S_n=i]\cdot\mathbb{P}[S_k=j-i].
Observação prática: se j-i estiver fora do suporte possível de S_k, a segunda probabilidade vale 0, ficando tudo coerente.

Resposta

(b)

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