A forma recursiva do processo soma S[n]=S[n-1]+X[n], não se aplica quando o processo X[n] for o passo aleatório, X[n]=1 com probabilidade p e X[n]=-1 com probabilidade 1-p.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado afirma que a forma recursiva do processo soma S[n]=S[n-1]+X[n] não se aplica quando o processo X[n] é o passo aleatório que vale 1 com probabilidade p e -1 com probabilidade 1-p. A tarefa é escolher se essa afirmação é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
  • X[n] é uma sequência de variáveis aleatórias que toma valores \{1,-1\} com \mathbb{P}(X[n]=1)=p e \mathbb{P}(X[n]=-1)=1-p.
  • A expressão recursiva proposta é S[n]=S[n-1]+X[n].
    Não há outras condições fornecidas (por ex.: valor inicial S[0], independência, etc.) no enunciado.

Passo 2

O que significa a relação recursiva S[n]=S[n-1]+X[n]?
  • Aqui S[n] é o processo soma (ou soma acumulada) em tempo n.
  • A recursão diz simplesmente que o valor acumulado em n é o valor acumulado em n-1 acrescido do novo incremento X[n].
  • Essa é a definição natural de soma parcial: se definirmos
S[0]=0
então definimos para n\ge1
S[n]=\sum_{k=1}^{n} X[k].
Essa definição implica, por construção, a recorrência S[n]=S[n-1]+X[n] para todo n\ge1.

Passo 3

Prova elementar por indução (ou verificação direta) de que a soma parcial satisfaz a recursão. Suponha que S[n] seja definida por
S[n]=\sum_{k=1}^{n} X[k].
Então, para n\ge1,
S[n-1]=\sum_{k=1}^{n-1} X[k].
Somando X[n] aos dois lados obtemos
S[n-1]+X[n]=\sum_{k=1}^{n-1} X[k] + X[n] = \sum_{k=1}^{n} X[k] = S[n].
Portanto, a igualdade S[n]=S[n-1]+X[n] é verdadeira sempre que S[n] for a soma dos X[k]. Note que essa dedução é puramente algébrica e não usa nenhuma suposição sobre a distribuição de X[k].

Passo 4

Aplicação ao caso concreto X[n]\in\{1,-1\}. Mesmo quando cada X[n] é um passo aleatório que vale 1 com probabilidade p e -1 com probabilidade 1-p, a relação recursiva continua válida caminho a caminho (isto é, para cada realização/resultado possível). Exemplos numéricos simples:
  • Para n=1: S[1]=X[1]. Logo S[1]=S[0]+X[1] se tomarmos S[0]=0.
  • Para n=2: por definição S[2]=X[1]+X[2]. Temos S[1]=X[1], então S[2]=S[1]+X[2].
    Essas igualdades não dependem de probabilidades específicas; só usam a definição de soma parcial.

Passo 5

Possível fonte de confusão e esclarecimento. Alguém pode pensar que a recursão “não se aplica” porque X[n] é aleatório ou porque os X[n] não são determinísticos. Mas a recursão é uma identidade que vale para cada realização das variáveis aleatórias — ou dito de outra forma, vale quase certamente (com probabilidade 1), desde que as somas estejam bem definidas. Não é necessário que os X[n] sejam independentes nem identicamente distribuídos; basta que exista a sequência X[1],X[2],\dots e definamos S[n] como soma parcial.

Passo 6

Conclusão direta: a afirmação do enunciado é incorreta. A forma recursiva S[n]=S[n-1]+X[n] aplica-se sim quando X[n] é o passo aleatório descrito; nesse caso S[n] é o passeio aleatório (random walk) simples (talvez enviesado se p\neq1/2), e é definido exatamente pela recursão.

Resposta

Falso

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