A forma recursiva do processo soma
, não se aplica quando o processo
for o passo aleatório,
com probabilidade
e
com probabilidade
.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado afirma que a forma recursiva do processo soma
não se aplica quando o processo
é o passo aleatório que vale
com probabilidade
e
com probabilidade
. A tarefa é escolher se essa afirmação é verdadeira ou falsa. As informações dadas são:
-
é uma sequência de variáveis aleatórias que toma valores com e . - A expressão recursiva proposta é
.
Não há outras condições fornecidas (por ex.: valor inicial, independência, etc.) no enunciado.
Passo 2
O que significa a relação recursiva
?
- Aqui
é o processo soma (ou soma acumulada) em tempo . - A recursão diz simplesmente que o valor acumulado em
é o valor acumulado em acrescido do novo incremento . - Essa é a definição natural de soma parcial: se definirmos
então definimos para
Essa definição implica, por construção, a recorrência
para todo
.
Passo 3
Prova elementar por indução (ou verificação direta) de que a soma parcial satisfaz a recursão. Suponha que
seja definida por
Então, para
,
Somando
aos dois lados obtemos
Portanto, a igualdade
é verdadeira sempre que
for a soma dos
. Note que essa dedução é puramente algébrica e não usa nenhuma suposição sobre a distribuição de
.
Passo 4
Aplicação ao caso concreto
. Mesmo quando cada
é um passo aleatório que vale
com probabilidade
e
com probabilidade
, a relação recursiva continua válida caminho a caminho (isto é, para cada realização/resultado possível). Exemplos numéricos simples:
- Para
: . Logo se tomarmos . - Para
: por definição . Temos , então .
Essas igualdades não dependem de probabilidades específicas; só usam a definição de soma parcial.
Passo 5
Possível fonte de confusão e esclarecimento. Alguém pode pensar que a recursão “não se aplica” porque
é aleatório ou porque os
não são determinísticos. Mas a recursão é uma identidade que vale para cada realização das variáveis aleatórias — ou dito de outra forma, vale quase certamente (com probabilidade
), desde que as somas estejam bem definidas. Não é necessário que os
sejam independentes nem identicamente distribuídos; basta que exista a sequência
e definamos
como soma parcial.
Passo 6
Conclusão direta: a afirmação do enunciado é incorreta. A forma recursiva
aplica-se sim quando
é o passo aleatório descrito; nesse caso
é o passeio aleatório (random walk) simples (talvez enviesado se
), e é definido exatamente pela recursão.
Resposta
Falso