Suponha que estamos na sexta-feira negra (black friday) e que toda vez que você quer realizar uma compra tem 40 \% de chances de antes de você concluir a compra o produto esteja indisponível. Qual a probabilidade de você comprar 3 produtos em 5 tentativas?
Escolha uma opção:
◯ a. \binom{5}{3} 0,4^{3} 0,6^{2}
◯ b. 3 \times 0,6^{3} 0,4^{2}
◯ c. \binom{5}{3} 0,6^{3} 0,4^{2}
◯ d. 3 \times 0,6^{2} 0,4^{3}
◯ e. 5 \times 0,6^{3} 0,4^{2}

Passo 1

O enunciado diz que, a cada tentativa de compra, há 40\% de chance de o produto ficar indisponível antes de você concluir a compra. Pergunta: qual a probabilidade de você conseguir comprar exatamente 3 produtos em 5 tentativas? Informações dadas e relevantes:
  • Probabilidade de o produto ficar indisponível em uma tentativa: 0,4.
  • Logo, probabilidade de a compra ser concluída numa tentativa (sucesso) é 1-0,4=0,6.
  • Número de tentativas (ensaios): n=5.
  • Número de compras que queremos ter (sucessos): k=3.
  • Assume-se que as tentativas são independentes (o resultado de uma não altera o outro).

Passo 2

Vamos modelar isso com um experimento de sucessos/fracassos repetidos: cada tentativa é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso p e fracasso 1-p. Quando repetimos n ensaios independentes e queremos a probabilidade de exatamente k sucessos, usamos a fórmula da distribuição binomial:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Expliquei cada termo:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios.
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios, entre os n, serão os sucessos (combinações).
  • p^{k} é a probabilidade de ter sucesso nas k tentativas escolhidas.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de ter fracasso nas n-k tentativas restantes.
    Intuição: escolhemos quais k tentativas deram certo (é a contagem \binom{n}{k}) e multiplicamos pela probabilidade daquela configuração específica ( p^{k}(1-p)^{n-k}).

Passo 3

Agora aplicamos os números dados:
  • n=5, k=3, p=0,6.
    Substituindo na fórmula:
\Pr(X=3)=\binom{5}{3}\,0,6^{3}\,0,4^{2}.
Vamos calcular cada peça separadamente para ficar bem mastigado.

Passo 4

Calculemos \binom{5}{3}:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.
Calculemos 0,6^{3}:
0,6^{3}=0,6\cdot0,6\cdot0,6=0,36\cdot0,6=0,216.
Calculemos 0,4^{2}:
0,4^{2}=0,4\cdot0,4=0,16.
Multiplicando 0,216 por 0,16 feito à mão:
  • 216\times16=216\times(10+6)=2160+1296=3456.
  • Colocando as casas decimais: 0,216 tem 3 casas decimais e 0,16 tem 2, então o produto tem 3+2=5 casas decimais: 0,03456.
    Agora multiplicamos pelo combinatório 10:
10\times0,03456=0,3456.

Passo 5

Concluímos que a probabilidade de comprar exatamente 3 produtos em 5 tentativas é
\binom{5}{3}\,0,6^{3}\,0,4^{2}=0,3456.

Resposta

c. \binom{5}{3}\,0,6^{3}\,0,4^{2}=0,3456

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