Um processo estocástico
tem incrementos estacionários
Escolha uma opção:
◯ a. Se no incremento
e
, são variáveis aleatórias independentes e
para
.
◯ b. Se quaisquer incrementos são variáveis aleatórias independentes e
◯ c. Se
para
.
◯ d. Se quaisquer incrementos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.
◯ e. Se a distribuição probabilística de
é a mesma de
quando
.
◯ a. Se no incremento
◯ b. Se quaisquer incrementos são variáveis aleatórias independentes e
◯ d. Se quaisquer incrementos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.
◯ e. Se a distribuição probabilística de
Passo 1
O enunciado apresenta várias alternativas e pede que eu escolha a que define corretamente “um processo estocástico
tem incrementos estacionários”. Informações dadas no enunciado (listas de alternativas):
- Cada alternativa descreve uma propriedade envolvendo os incrementos
. - Quero identificar qual alternativa corresponde à definição de “incrementos estacionários”.
Passo 2
Vou explicar claramente o que significa “incrementos estacionários” (essa é a peça-chave).
- A ideia: a distribuição probabilística de um incremento depende apenas do comprimento do intervalo de tempo, não de onde o intervalo começa.
- Em linguagem matemática: para quaisquer instantes
e , o incremento tem a mesma distribuição que . Escrevendo de outra forma,
ou seja, para quaisquer pares
e
tais que
temos
onde
significa “iguais em distribuição” (mesma lei/probabilidade), não necessariamente iguais ponto a ponto.
Passo 3
Explico por que a alternativa correta deve falar em igualdade da distribuição quando os comprimentos dos intervalos são iguais.
- Stationary increments = invariância de lei por translação no tempo do incremento.
- Isso exige que, sempre que dois intervalos tiverem o mesmo comprimento, os respectivos incrementos tenham a mesma distribuição.
- A alternativa que diz exatamente isso é a que afirma que "a distribuição probabilística de
é a mesma de quando ".
Passo 4
Mostro por que as outras alternativas estão erradas (ou descrevem propriedades diferentes).
- Alternativa (a): mistura independência com a igualdade funcional
. A igualdade funcional é estranha: sugere que o incremento é igual como variável aleatória a uma função do comprimento do intervalo (ou seja, um processo com valores definidos por apenas do comprimento ), o que não é a definição usual de incrementos estacionários. Além disso, a independência não entra na definição de estacionaridade de incrementos (essa é uma propriedade separada: independência de incrementos). - Alternativa (b): exige que “quaisquer incrementos são independentes” e ainda afirma
Isso é muito forte e ambíguo: escrita sem indicar se é igualdade em distribuição ou quase certa. Se interpretada como igualdade como variáveis aleatórias (a mesma realização), isso só ocorre em casos degenerados. Além disso, a independência não é parte da definição de incrementos estacionários.
- Alternativa (c): afirma somente
para
. Isso é, novamente, uma igualdade pontual entre variáveis aleatórias que transforma o processo numa função do tempo deslocado — não corresponde à definição padrão que fala em igualdade de distribuição entre incrementos de mesmo comprimento.
- Alternativa (d): “quaisquer incrementos disjuntos são variáveis aleatórias independentes” — essa é a definição de “incrementos independentes” (independent increments), não de “incrementos estacionários”. São conceitos diferentes; um processo pode ter incrementos estacionários sem ter incrementos independentes e vice-versa.
- Portanto, nenhuma das (a),(b),(c),(d) descreve corretamente apenas a propriedade de estacionaridade dos incrementos.
Passo 5
Reforço com exemplo intuitivo e comparação:
- Exemplo clássico: o movimento browniano (Wiener) tem incrementos estacionários porque a distribuição de
é normal com média e variância , que depende apenas de , não de . Assim, se , então
o que é exatamente a afirmação da alternativa correta. Observe que o movimento browniano também tem incrementos independentes, mas essa independência é uma propriedade adicional — não é necessária para a estacionaridade dos incrementos.
- A alternativa (e) usa precisamente a linguagem de mesma distribuição quando os comprimentos coincidem; isso bate com a definição formal dada no Passo 2.
Resposta
e