Um processo estocástico X(t) tem incrementos estacionários
Escolha uma opção:
◯ a. Se no incremento X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right), X\left(t_{n}\right) e X\left(t_{n-1}\right), são variáveis aleatórias independentes e X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)=X\left(t_{n}-t_{n-1}\right) para t_{n-1}<t_{n}.
◯ b. Se quaisquer incrementos são variáveis aleatórias independentes e
X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)=X\left(t_{k}\right)-X\left(t_{k-1}\right) \text { para } n \neq k .
◯ c. Se X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right)=X\left(t_{n}-t_{n-1}\right) para t_{n-1}<t_{n}.
◯ d. Se quaisquer incrementos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.
◯ e. Se a distribuição probabilística de X\left(t_{n}\right)-X\left(t_{n-1}\right) é a mesma de X\left(t_{k}\right)-X\left(t_{k-1}\right) quando t_{n}-t_{n-1}=t_{k}-t_{k-1}.

Passo 1

O enunciado apresenta várias alternativas e pede que eu escolha a que define corretamente “um processo estocástico X(t) tem incrementos estacionários”. Informações dadas no enunciado (listas de alternativas):
  • Cada alternativa descreve uma propriedade envolvendo os incrementos \;X(t_n)-X(t_{n-1})\;.
  • Quero identificar qual alternativa corresponde à definição de “incrementos estacionários”.

Passo 2

Vou explicar claramente o que significa “incrementos estacionários” (essa é a peça-chave).
  • A ideia: a distribuição probabilística de um incremento depende apenas do comprimento do intervalo de tempo, não de onde o intervalo começa.
  • Em linguagem matemática: para quaisquer instantes s\ge 0 e t\ge 0, o incremento \;X(s+t)-X(s)\; tem a mesma distribuição que \;X(t)-X(0)\;. Escrevendo de outra forma,
\text{a distribuição de }X(s+t)-X(s)\text{ depende apenas de }t,çã
ou seja, para quaisquer pares (t_{n-1},t_n) e (t_{k-1},t_k) tais que
t_n-t_{n-1}=t_k-t_{k-1},
temos
X(t_n)-X(t_{n-1}) \stackrel{d}{=} X(t_k)-X(t_{k-1}),
onde \stackrel{d}{=} significa “iguais em distribuição” (mesma lei/probabilidade), não necessariamente iguais ponto a ponto.

Passo 3

Explico por que a alternativa correta deve falar em igualdade da distribuição quando os comprimentos dos intervalos são iguais.
  • Stationary increments = invariância de lei por translação no tempo do incremento.
  • Isso exige que, sempre que dois intervalos tiverem o mesmo comprimento, os respectivos incrementos tenham a mesma distribuição.
  • A alternativa que diz exatamente isso é a que afirma que "a distribuição probabilística de \;X(t_n)-X(t_{n-1})\; é a mesma de \;X(t_k)-X(t_{k-1})\; quando t_n-t_{n-1}=t_k-t_{k-1}".

Passo 4

Mostro por que as outras alternativas estão erradas (ou descrevem propriedades diferentes).
  • Alternativa (a): mistura independência com a igualdade funcional \;X(t_n)-X(t_{n-1})=X(t_n-t_{n-1})\;. A igualdade funcional é estranha: sugere que o incremento é igual como variável aleatória a uma função do comprimento do intervalo (ou seja, um processo com valores definidos por X(u) apenas do comprimento u), o que não é a definição usual de incrementos estacionários. Além disso, a independência não entra na definição de estacionaridade de incrementos (essa é uma propriedade separada: independência de incrementos).
  • Alternativa (b): exige que “quaisquer incrementos são independentes” e ainda afirma
X(t_n)-X(t_{n-1})=X(t_k)-X(t_{k-1})\\ \text{para }n\neq k.
Isso é muito forte e ambíguo: escrita sem indicar se é igualdade em distribuição ou quase certa. Se interpretada como igualdade como variáveis aleatórias (a mesma realização), isso só ocorre em casos degenerados. Além disso, a independência não é parte da definição de incrementos estacionários.
  • Alternativa (c): afirma somente
X(t_n)-X(t_{n-1})=X(t_n-t_{n-1})
para t_{n-1}<t_n. Isso é, novamente, uma igualdade pontual entre variáveis aleatórias que transforma o processo numa função do tempo deslocado — não corresponde à definição padrão que fala em igualdade de distribuição entre incrementos de mesmo comprimento.
  • Alternativa (d): “quaisquer incrementos disjuntos são variáveis aleatórias independentes” — essa é a definição de “incrementos independentes” (independent increments), não de “incrementos estacionários”. São conceitos diferentes; um processo pode ter incrementos estacionários sem ter incrementos independentes e vice-versa.
  • Portanto, nenhuma das (a),(b),(c),(d) descreve corretamente apenas a propriedade de estacionaridade dos incrementos.

Passo 5

Reforço com exemplo intuitivo e comparação:
  • Exemplo clássico: o movimento browniano (Wiener) tem incrementos estacionários porque a distribuição de W(t+s)-W(s) é normal com média 0 e variância t, que depende apenas de t, não de s. Assim, se t_n-t_{n-1}=t_k-t_{k-1}=h, então
W(t_n)-W(t_{n-1}) \stackrel{d}{=} W(t_k)-W(t_{k-1}),
o que é exatamente a afirmação da alternativa correta. Observe que o movimento browniano também tem incrementos independentes, mas essa independência é uma propriedade adicional — não é necessária para a estacionaridade dos incrementos.
  • A alternativa (e) usa precisamente a linguagem de mesma distribuição quando os comprimentos coincidem; isso bate com a definição formal dada no Passo 2.

Resposta

e

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