A probabilidade de os doentes não recuperarem de uma determinada doença é 0,6 . Escolhidos ao acaso 10 pessoas com a referida doença, determine a probabilidade de sobreviverem:
a) Exatamente 5 pessoas;
b) Pelo menos 3 pessoas;
c) No mínimo de 3 e no máximo de 5 pessoas.

Passo 1

Estamos com 10 doentes independentes. A probabilidade de não recuperar é 0,6, logo a probabilidade de recuperar (sobreviver) é p=1-0,6=0,4. Se X é o número de sobreviventes em 10 ensaios independentes, então
X\sim \mathrm{Binomial}(n=10,\;p=0.4).

Passo 2

Para (a) queremos exatamente 5 sobreviventes, ou seja P(X=5). Na binomial vale
P(X=5)=\binom{10}{5}(0.4)^5(0.6)^{10-5}.
Calculando numericamente,
\binom{10}{5}=252,\quad (0.4)^5\approx0.01024,\quad(0.6)^5\approx0.07776,
então
P(X=5)\approx 252\times0.01024\times0.07776\approx0,2007.

Passo 3

Para (b) queremos “pelo menos 3” sobreviventes, isto é P(X\ge3). É mais prático usar o complementar:
P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0.4)^k(0.6)^{10-k}.
Calculando cada termo k=0,1,2 e somando, obtém-se
P(X\ge3)\approx1-0,16729\approx0,8327.

Passo 4

Para (c) queremos no mínimo 3 e no máximo 5 sobreviventes, ou seja
P(3\le X\le5)=\sum_{k=3}^{5}\binom{10}{k}(0.4)^k(0.6)^{10-k}.
Se calcularmos os termos para k=3,4,5 e somarmos, achamos
P(3\le X\le5)\approx0,21499+0,25088+0,20066\approx0,6665.

Resposta

(a) \displaystyle P(X=5)=\binom{10}{5}(0.4)^5(0.6)^5\approx0,2007
(b) \displaystyle P(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0.4)^k(0.6)^{10-k}\approx0,8327
(c) \displaystyle P(3\le X\le5)=\sum_{k=3}^{5}\binom{10}{k}(0.4)^k(0.6)^{10-k}\approx0,6665

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