O maior número de reclamações dos proprietários de automóveis com dois anos de uso se referem ao desempenho do sistema elétrico. Considere que um questionário anual, enviado aos proprietários de mais de 300 marcas e modelos de automóveis, revelou que 10 \% dos proprietários de automóveis com dois anos de uso encontraram pontos com problemas no sistema elétrico, que incluíam o motor de arranque, o alternador, a bateria, controles diversos, luzes e radio. Qual a probabilidade de que uma amostra de 12 proprietários de automóveis com dois anos ter:
No máximo um proprietário com problemas no sistema elétrico.

Passo 1

O enunciado diz que cada proprietário de automóvel com dois anos tem probabilidade de 10\% de ter problemas no sistema elétrico. Queremos, numa amostra de n=12 proprietários, a probabilidade de no máximo um proprietário com esse problema. O conteúdo aqui é distribuição binomial, já que cada proprietário é um ensaio de Bernoulli independente com p=0{,}10.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de proprietários com problemas no sistema elétrico. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=12,\;p=0,10).
Precisamos calcular
P(X\le1).

Passo 3

Pela fórmula da binomial,
P(X\le1) =\sum_{k=0}^{1}\binom{12}{k}(0,10)^{k}(0,90)^{12-k}.

Passo 4

Separando os dois termos, temos
P(X=0)=(0,90)^{12},
P(X=1)=\binom{12}{1}(0,10)^{1}(0,90)^{11}=12\cdot0,10\cdot(0,90)^{11}.

Passo 5

Calculando numericamente:
(0,90)^{12}\approx0,28243,
12\cdot0,10\cdot(0,90)^{11}\approx0,37657,
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P(X\le1)\approx0,28243+0,37657=0,65900.

Resposta

A probabilidade de, em 12 proprietários, no máximo um ter problemas no sistema elétrico é aproximadamente 0,6590 (ou 65{,}90\%).

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