Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é 0,1 . \mathrm{Em} uma amostra de dez itens considere os itens defeituosos:
a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico.
b) Qual a probabilidade de haver no máximo um item defeituoso.
c) Determine a média e a variância do experimento.

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um item ser defeituoso é 0,1 e que vamos inspecionar uma amostra de 10 itens, contando quantos são defeituosos. O conteúdo aqui é distribuição binomial, pois cada item é um ensaio de Bernoulli independente com probabilidade de “sucesso” (ser defeituoso) igual a 0,1. Vamos então definir a variável aleatória, identificar o modelo, calcular a probabilidade de até um defeituoso e determinar média e variância.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X = \text{número de itens defeituosos na amostra de }10.ú
Como cada item é independente e tem probabilidade p=0,1 de ser defeituoso, temos
X \sim \mathrm{Binomial}(n=10,\;p=0,1).

Passo 3

Para achar \Pr(X\le1) somamos \Pr(X=0) e \Pr(X=1). A fórmula geral é
\Pr(X=k)=\binom{10}{k}(0,1)^{k}(0,9)^{10-k}.
Logo,
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}(0,1)^{0}(0,9)^{10}=(0,9)^{10},
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}(0,1)^{1}(0,9)^{9}=10\cdot0,1\cdot(0,9)^{9}.
Portanto,
\Pr(X\le1)=(0,9)^{10}+10\cdot0,1\cdot(0,9)^{9}\approx0,34868+0,38742=0,73610.

Passo 4

Para X\sim\mathrm{Binomial}(n,p) vale
E(X)=np,\quad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
Aqui n=10 e p=0,1, então
E(X)=10\cdot0,1=1,
\mathrm{Var}(X)=10\cdot0,1\cdot0,9=0,9.

Resposta

a) Seja X o número de itens defeituosos na amostra de 10. Então X\sim\mathrm{Binomial}(10,0,1).
b) \Pr(X\le1)=(0,9)^{10}+10\cdot0,1\cdot(0,9)^{9}\approx0,7361.
c) E(X)=1 e \mathrm{Var}(X)=0,9.

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