Admita que X seja normalmente distribuída, com uma média de 7 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor para x que resolve cada uma das seguintes equações.
P(x<X<9)=0,2

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. normalmente distribuída com média \mu=7 e desvio-padrão \sigma=4. Precisamos achar x tal que
P\bigl(x < X < 9\bigr) = 0,2.
O conteúdo envolve padronização de variável normal e uso da função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 2

Chamando por \Phi a função de distribuição acumulada da normal padrão Z\sim N(0,1), temos
P\bigl(x < X < 9\bigr) = P\Bigl(\frac{x-7}{4} < Z < \frac{9-7}{4}\Bigr) = \Phi\bigl(0,5\bigr) - \Phi\Bigl(\frac{x-7}{4}\Bigr).
Queremos que isso valha 0,2, logo
\Phi(0,5) - \Phi\Bigl(\tfrac{x-7}{4}\Bigr) = 0,2.

Passo 3

Isolando \Phi\bigl(\tfrac{x-7}{4}\bigr),
\Phi\Bigl(\tfrac{x-7}{4}\Bigr) = \Phi(0,5) - 0,2.
Sabendo pela tabela (ou software) que \Phi(0,5)\approx 0,6915, obtemos
\Phi\Bigl(\tfrac{x-7}{4}\Bigr) \approx 0,6915 - 0,2 = 0,4915.

Passo 4

Para encontrar \tfrac{x-7}{4}, aplicamos a inversa de \Phi:
\frac{x-7}{4} = \Phi^{-1}(0,4915) \approx -0,0216.
Logo
x = 7 + 4 \times (-0,0216) \approx 7 - 0,0864 = 6,9136.

Resposta

x \approx 6,91

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