Um artigo no International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic Optimal Load Flow Using a Combined Quasi-Newton and Conjugate Gradient Technique” (1989, Vol. 11(2), pp. 8593)] considerou o problema de corrente elétrica ótima em sistemas de potência elétrica e incluiu os efeitos de variáveis incertas na formulação do problema. O método trata a demanda de potência do sistema como uma variável aleatória normal com média 0 e variância unitária.
a. Qual é o valor da demanda de potência excedido com 80 \% de probabilidade?
b. Qual é a probabilidade de a demanda de potência ser positiva?
c. Qual é a probabilidade de a demanda de potência ser maior do que -1 e menor do que 1 ?

Passo 1

O enunciado diz que a demanda de potência X é uma variável aleatória normal padrão, ou seja,
X \sim N(0,1),
com média 0 e variância 1. Para resolver precisamos saber usar a função de distribuição acumulada \Phi da normal padrão, seu inverso \Phi^{-1} (quantis) e a simetria da distribuição.

Passo 2

Para (a), queremos o valor x tal que a demanda seja excedida com 80\% de probabilidade, isto é,
P(X > x) = 0,8.
Como P(X \le x)=1 - P(X > x)=0,2, temos
x = \Phi^{-1}(0,2)\approx -0,84.

Passo 3

Para (b), a probabilidade de a demanda ser positiva é
P(X > 0).
Pela simetria da normal padrão em torno de zero,
P(X > 0)=0,5.

Passo 4

Para (c), queremos
P(-1 < X < 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
Sabendo que \Phi(1)\approx0,8413 e \Phi(-1)=1-\Phi(1)\approx0,1587, obtemos
P(-1<X<1)\approx0,8413-0,1587=0,6826.

Resposta

a. -0,84
b. 0,5
c. 0,6826

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