Admita que X seja normalmente distribuída, com uma média de 7 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor para x que resolve cada uma das seguintes equações.
P(3<X<x)=0,95

Passo 1

O enunciado fala de uma variável aleatória X com distribuição normal de média \mu=7 e desvio-padrão \sigma=4. Queremos achar x tal que
P(3<X<x)=0,95.
O que vamos usar é a transformada para a distribuição normal padrão e propriedades da função de distribuição acumulada \Phi.

Passo 2

Escrevemos
P(3<X<x)=P\Bigl(\frac{3-7}{4}<Z<\frac{x-7}{4}\Bigr) =\Phi\!\Bigl(\frac{x-7}{4}\Bigr)-\Phi\!\Bigl(\frac{3-7}{4}\Bigr),
onde Z\sim N(0,1).

Passo 3

Calculamos
\Phi\!\Bigl(\frac{3-7}{4}\Bigr)=\Phi(-1)\approx 0,1587.
Logo a equação fica
\Phi\!\Bigl(\frac{x-7}{4}\Bigr)-0,1587=0,95 \quad\Longrightarrow\quad \Phi\!\Bigl(\frac{x-7}{4}\Bigr)=1,1087.

Passo 4

Mas a função de distribuição \Phi nunca ultrapassa 1. Logo não existe nenhum valor real de \displaystyle\frac{x-7}{4} que faça \Phi chegar a 1,1087. Portanto não há solução real para x.

Resposta

Não existe valor real de x que satisfaça P(3<X<x)=0,95.

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