Considere n(n<2) pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares.
a) Quantas são as retas que contêm dois desses pontos?
b) Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?

Passo 1

Temos n pontos no plano, nenhum triplo colinear.
a) Queremos contar quantas retas são determinadas por esses pontos, sabendo que toda reta é dada por dois pontos.
b) Depois, consideramos o conjunto de todas essas retas e queremos o número máximo de pontos de interseção entre elas.
Ferramentas principais: contagem binomial binomnk, argumento de “quatro pontos geram três interseções novas” e correção por concorrências nos pontos dados.

Passo 2

Para (a): cada reta é determinada por um par de pontos distintos. Como não há três colineares, cada par gera uma reta distinta. Logo
número de retas =binomn2 ú

Passo 3

Para (b): chamemos
L=binomn2
o número de retas. Em posição geral (nenhuma paralela, nenhuma tripla concorrente fora dos pontos dados), cada par de retas intersecta uma única vez.
  1. O total de pares de retas é binomL2.
  2. Mas, nos n pontos originais, cada um tem às suas voltas n-1 retas concorrentes, gerando binomn-12 pares que se encontram no mesmo ponto. Esses binomn-12 interseções deveríamos contar apenas como 1 em vez de binomn-12.
  3. Subtraindo o excesso e depois somando de volta o ponto único, encontra-se ao final que o número de interseções distintas é
n + 3binomn4
Alternativamente, note que qualquer conjunto de 4 pontos gera exatamente 3 interseções novas entre as 6 retas que os ligam (pares de retas sem ponto comum), e essas nunca coincidem entre diferentes quartetos.

Resposta

(a) binomn2
(b) n ;+;3,binomn4

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