Considere
pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares.
a) Quantas são as retas que contêm dois desses pontos?
b) Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?
a) Quantas são as retas que contêm dois desses pontos?
b) Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?
Passo 1
Temos
pontos no plano, nenhum triplo colinear.
a) Queremos contar quantas retas são determinadas por esses pontos, sabendo que toda reta é dada por dois pontos.
b) Depois, consideramos o conjunto de todas essas retas e queremos o número máximo de pontos de interseção entre elas.
a) Queremos contar quantas retas são determinadas por esses pontos, sabendo que toda reta é dada por dois pontos.
b) Depois, consideramos o conjunto de todas essas retas e queremos o número máximo de pontos de interseção entre elas.
Ferramentas principais: contagem binomial
, argumento de “quatro pontos geram três interseções novas” e correção por concorrências nos pontos dados.
Passo 2
Para (a): cada reta é determinada por um par de pontos distintos. Como não há três colineares, cada par gera uma reta distinta. Logo
Passo 3
Para (b): chamemos
o número de retas. Em posição geral (nenhuma paralela, nenhuma tripla concorrente fora dos pontos dados), cada par de retas intersecta uma única vez.
- O total de pares de retas é
. - Mas, nos
pontos originais, cada um tem às suas voltas retas concorrentes, gerando pares que se encontram no mesmo ponto. Esses interseções deveríamos contar apenas como 1 em vez de . - Subtraindo o excesso e depois somando de volta o ponto único, encontra-se ao final que o número de interseções distintas é
Alternativamente, note que qualquer conjunto de 4 pontos gera exatamente 3 interseções novas entre as 6 retas que os ligam (pares de retas sem ponto comum), e essas nunca coincidem entre diferentes quartetos.
Resposta
(a)
(b)
(b)