Há 15 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido senta separado de sua mulher?

Passo 1

O enunciado dá 15 cadeiras em fila e 5 casais ( 10 pessoas). Queremos contar de quantos modos podemos sentar esses 5 casais de modo que cada marido fique ao lado da sua mulher. Isso é um problema de combinatória com “blocos” de tamanho 2 (os casais) e cadeiras vazias.

Passo 2

Cada casal forma um bloco de 2 cadeiras consecutivas. Dentro de cada bloco há 2 formas de ordenar marido e mulher (marido à esquerda ou à direita). Para 5 casais o fator de arranjo interno é
2^5 = 32.

Passo 3

Depois de agrupar os 5 blocos (cada um ocupando 2 cadeiras) sobram 15 - 2\cdot 5 = 5 cadeiras vazias, que podemos distribuir antes do primeiro bloco, entre blocos e depois do último. São 6 ``intervalos'' para colocar 5 cadeiras vazias, e o número de distribuições é
\binom{5 + 6 - 1}{6 - 1} = \binom{10}{5} = 252.

Passo 4

Os 5 blocos representam casais distintos, logo podemos permutá-los entre si em
5! = 120
modos.

Passo 5

Basta multiplicar os fatores: distribuição de cadeiras vazias, permuta dos blocos e arranjos internos de cada casal:
252 \times 5! \times 2^5 = 252 \times 120 \times 32 = 967\,680.

Resposta

O número de modos é \,967\,680.

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