Dados 15 objetos, quantas são as combinações que podem ser feitas com 4 desses objetos, se as combinações:
(a) contêm um determinado objeto?
(b) não contêm o objeto considerado?

Passo 1

No enunciado, temos 15 objetos e queremos formar subconjuntos de 4. O conteúdo é contagem combinatória sem repetição, usando coeficiente binomial \binom{n}{k}. Nas partes (a) e (b) vamos tratar separadamente se um objeto fixo está incluído ou não nas combinações.

Passo 2

Para a parte (a), exigimos que um objeto específico esteja presente. Então reservamos esse objeto e escolhemos os outros 3 dentre os 14 objetos restantes. Isso dá:
\binom{14}{3} = \frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1} = 364.

Passo 3

Para a parte (b), queremos as combinações que não contêm o objeto considerado. Logo, escolhemos todos os 4 dentre os outros 14, gerando:
\binom{14}{4} = \frac{14\cdot13\cdot12\cdot11}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 1001.

Resposta

(a) 364
(b) 1001

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