Em um congresso há 15 professores de física e 15 de matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas:
(a) sem restrições?
(b) havendo pelo menos um professor de matemática?
(c) havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos 2 professores de física?
(a) sem restrições?
(b) havendo pelo menos um professor de matemática?
(c) havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos 2 professores de física?
Passo 1
O enunciado apresenta dois grupos de professores:
de física e
de matemática. Precisamos formar comissões de
professores. O conteúdo envolve combinações simples e, nos itens (b) e (c), o uso do princípio do complemento e soma de casos.
Passo 2
Para o item (a), sem nenhuma restrição, basta escolher
professores dentre os
disponíveis. O número de maneiras é
Passo 3
Para o item (b), queremos comissões com pelo menos um professor de matemática. É mais fácil usar o complementar: total de comissões menos aquelas formadas sem nenhum matemático (ou seja, todas de física). O total é
e as comissões só de física são
. Logo,
Passo 4
Para o item (c), a comissão deve ter pelo menos 4 matemáticos e pelo menos 2 físicos. Sejam
o número de matemáticos na comissão; então
, porque sobram
físicos, e precisamos de pelo menos 2. Somamos os casos
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)