Em um congresso há 15 professores de física e 15 de matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas:
(a) sem restrições?
(b) havendo pelo menos um professor de matemática?
(c) havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos 2 professores de física?

Passo 1

O enunciado apresenta dois grupos de professores: 15 de física e 15 de matemática. Precisamos formar comissões de 8 professores. O conteúdo envolve combinações simples e, nos itens (b) e (c), o uso do princípio do complemento e soma de casos.

Passo 2

Para o item (a), sem nenhuma restrição, basta escolher 8 professores dentre os 30 disponíveis. O número de maneiras é
\binom{30}{8}.

Passo 3

Para o item (b), queremos comissões com pelo menos um professor de matemática. É mais fácil usar o complementar: total de comissões menos aquelas formadas sem nenhum matemático (ou seja, todas de física). O total é \binom{30}{8} e as comissões só de física são \binom{15}{8}. Logo,
\binom{30}{8} \;-\;\binom{15}{8}.

Passo 4

Para o item (c), a comissão deve ter pelo menos 4 matemáticos e pelo menos 2 físicos. Sejam k o número de matemáticos na comissão; então 4\le k\le6, porque sobram 8-k físicos, e precisamos de pelo menos 2. Somamos os casos k=4,5,6:
\sum_{k=4}^{6}\binom{15}{k}\,\binom{15}{8-k}.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{30}{8}=5\,852\,925
(b) \displaystyle \binom{30}{8}-\binom{15}{8}=5\,852\,925-6\,435=5\,846\,490
(c) \displaystyle \sum_{k=4}^{6}\binom{15}{k}\,\binom{15}{8-k}=3\,755\,115

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