Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma preta. Uma outra caixa B contém uma bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola é retirada também ao acaso.
a. Indique um espaço amostral para esse experimento, incluindo a caixa escolhida e a cor da bola.
b. Indique um outro espaço amostral, considerando somente a cor da bola escolhida.
c. Indique as probabilidades de cada um dos eventos nos espaços amostrais apresentados.
d. Suponha que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes?
e. Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas caixas, A com uma bola vermelha e uma preta, e B com uma bola branca e uma vermelha. Sorteamos uma caixa ao acaso e, em seguida, uma bola ao acaso. Depois, há duas situações novas: juntar tudo numa urna e retirar duas bolas sem reposição; e transferir uma bola de A para B e então retirar duas bolas com reposição. Vamos usar conceitos de espaço amostral, probabilidade total e de complementares.

Passo 2

a. Espaço amostral detalhado (caixa + cor):
S = \{(A,\text{vermelha}),\,(A,\text{preta}),\,(B,\text{vermelha}),\,(B,\text{branca})\}.
b. Espaço amostral apenas das cores:
S' = \{\text{vermelha},\,\text{preta},\,\text{branca}\}.

Passo 3

c. Como cada caixa é escolhida com probabilidade 1/2 e dentro de cada caixa cada bola com probabilidade 1/2:
P((A,\text{vermelha}))=P((A,\text{preta}))=P((B,\text{vermelha}))=P((B,\text{branca}))=\tfrac14.
No espaço de cores:
P(\text{vermelha})=P((A,\text{vermelha}))+P((B,\text{vermelha}))=\tfrac12, \quad P(\text{preta})=\tfrac14,\quad P(\text{branca})=\tfrac14.

Passo 4

d. Na urna única há 4 bolas ( 2 vermelhas, 1 preta, 1 branca). Em duas retiradas sem reposição, a probabilidade de saírem cores diferentes é
1 - P(\text{duas vermelhas}) = 1 - \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3} =1 - \frac{1}{6} =\frac{5}{6}.

Passo 5

e. Transferindo primeiro uma bola de A para B:
– Com probabilidade \tfrac12 sai vermelha, deixando B com 2 vermelhas +1 branca; então em cada retirada P(\text{vermelha})=\tfrac23 e
P(\text{>=1 vermelha}\mid\text{transferiu vermelha}) =1-(1-\tfrac23)^2 =1-\bigl(\tfrac13\bigr)^2 =\tfrac{8}{9}.
– Com probabilidade \tfrac12 sai preta, deixando B com 1 vermelha +1 branca +1 preta; então P(\text{vermelha})=\tfrac13 e
P(\text{>=1 vermelha}\mid\text{transferiu preta}) =1-(1-\tfrac13)^2 =1-\bigl(\tfrac23\bigr)^2 =\tfrac{5}{9}.
Pela probabilidade total,
P(\text{>=1 vermelha}) =\tfrac12\cdot\tfrac{8}{9}+\tfrac12\cdot\tfrac{5}{9} =\tfrac{13}{18}.

Resposta

(a) S=\{(A,\text{vermelha}),(A,\text{preta}),(B,\text{vermelha}),(B,\text{branca})\}
(b) S'=\{\text{vermelha},\text{preta},\text{branca}\}
(c) P((A,\text{vermelha}))=P((A,\text{preta}))=P((B,\text{vermelha}))=P((B,\text{branca}))=\tfrac14;
\,P(\text{vermelha})=\tfrac12,\;P(\text{preta})=\tfrac14,\;P(\text{branca})=\tfrac14
(d) \tfrac{5}{6}
(e) \tfrac{13}{18}

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