- Mostre que
se e somente se
, para cada ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre inclusão de conjuntos e comparação dos respectivos indicadores. Em outras palavras, queremos usar a definição de função indicadora
se
e
caso contrário, para mostrar que
Passo 2
Suponha
. Seja
.
- Se
, então , logo e , portanto . - Se
, então e , logo .
Assim, em qualquer caso.
Passo 3
Agora suponha
para todo
. Seja
.
Então e pela hipótese
. Como
, resulta
, ou seja,
.
Logo , isto é,
.
Então
Logo
Resposta
Portanto, conclui-se que