1. Mostre que A \supseteq B se e somente se I_{A}(\omega) \geq I_{B}(\omega), para cada ponto \omega \in \Omega.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre inclusão de conjuntos e comparação dos respectivos indicadores. Em outras palavras, queremos usar a definição de função indicadora \,I_A(\omega)=1 se \omega\in A e 0 caso contrário, para mostrar que
A\supseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad I_A(\omega)\ge I_B(\omega) \;\text{para todo }\omega\in\Omega.

Passo 2

Suponha A\supseteq B. Seja \omega\in\Omega.
  • Se \omega\in B, então \omega\in A, logo I_B(\omega)=1 e I_A(\omega)=1, portanto I_A(\omega)\ge I_B(\omega).
  • Se \omega\notin B, então I_B(\omega)=0 e I_A(\omega)\in\{0,1\}, logo I_A(\omega)\ge0=I_B(\omega).
    Assim, em qualquer caso I_A(\omega)\ge I_B(\omega).

Passo 3

Agora suponha I_A(\omega)\ge I_B(\omega) para todo \omega. Seja \omega\in B.
Então I_B(\omega)=1 e pela hipótese I_A(\omega)\ge1. Como I_A(\omega)\in\{0,1\}, resulta I_A(\omega)=1, ou seja, \omega\in A.
Logo B\subseteq A, isto é, A\supseteq B.

Resposta

Portanto, conclui-se que
A\supseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad I_A(\omega)\ge I_B(\omega) \quad\text{para todo }\omega\in\Omega.

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