Para \Omega=[0,1] \cap \mathbb{R} e \mathcal{F}_{1} e \mathcal{F}_{2} duas \sigma-álgebras em \Omega, prove que \mathcal{F}=\left\{A: A \in \mathcal{F}_{1} \cap \mathcal{F}_{2}\right\} é \sigma-álgebra, mas \mathcal{G}=\left\{A: A \in \mathcal{F}_{1} \cup \mathcal{F}_{2}\right\} não é.

Passo 1

O enunciado fala de duas \sigma-álgebras \mathcal F_{1} e \mathcal F_{2} sobre \Omega=[0,1]. Precisamos mostrar:
1. A interseção
\mathcal F \;=\;\{A : A\in\mathcal F_{1}\text{ e }A\in\mathcal F_{2}\}
é uma \sigma-álgebra.
2. A união
\mathcal G \;=\;\{A : A\in\mathcal F_{1}\text{ ou }A\in\mathcal F_{2}\}
nem sempre é uma \sigma-álgebra, apresentando um contra-exemplo.
Conteúdo: definição de \sigma-álgebra e propriedades de fechamento ( \Omega e vazio, complemento, uniões contáveis).

Passo 2

Mostramos que \mathcal F=\mathcal F_{1}\cap\mathcal F_{2} é \sigma-álgebra:
1. Como \mathcal F_{1} e \mathcal F_{2} contêm \Omega e \varnothing, então \Omega,\varnothing\in\mathcal F.
2. Se A\in\mathcal F, então A\in\mathcal F_{1} e A\in\mathcal F_{2}. Como cada \mathcal F_{i} é \sigma-álgebra, A^{c}\in\mathcal F_{i} para i=1,2. Logo A^{c}\in\mathcal F_{1}\cap\mathcal F_{2}=\mathcal F.
3. Se \{A_{n}\}_{n\ge1}\subset\mathcal F, então para todo n, A_{n}\in\mathcal F_{1} e A_{n}\in\mathcal F_{2}. Como cada \mathcal F_{i} é fechada sob união contável,
\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal F_{1}\quad\text{e}\quad\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal F_{2}.
Logo \bigcup_{n}A_{n}\in\mathcal F_{1}\cap\mathcal F_{2}=\mathcal F.
Assim \mathcal F satisfaz as três propriedades e é \sigma-álgebra.

Passo 3

Agora apresentamos um contra-exemplo para mostrar que
\mathcal G=\mathcal F_{1}\cup\mathcal F_{2}
pode falhar em ser \sigma-álgebra. Definimos sobre \Omega=[0,1]:
\mathcal F_{1}=\{\varnothing,\Omega,[0,\tfrac12],(\tfrac12,1]\},
\mathcal F_{2}=\{\varnothing,\Omega,[0,\tfrac13],(\tfrac13,1]\}.
Cada \mathcal F_{i} é \sigma-álgebra finita gerada por um ponto de corte.

Passo 4

Verificamos que \mathcal G=\mathcal F_{1}\cup\mathcal F_{2} não é fechada sob união contável (nem mesmo sob união finita): tomemos
A=[0,\tfrac12]\in\mathcal F_{1}\subset\mathcal G,\quad B=(\tfrac13,1]\in\mathcal F_{2}\subset\mathcal G.
Então
A\cup B \;=\;[0,\tfrac12]\;\cup\;(\tfrac13,1]\;=\;[0,1]\setminus\bigl(\tfrac12,\tfrac13\bigr]
é o conjunto que vai de 0 a 1 com um “buraco” \bigl(\tfrac13,\tfrac12\bigr]. Esse conjunto não está em \mathcal F_{1} nem em \mathcal F_{2}, logo não está em \mathcal G. Falha assim o fechamento sob uniões, característico de \sigma-álgebra.

Resposta

\mathcal F=\mathcal F_{1}\cap\mathcal F_{2} é \sigma-álgebra.
\mathcal G=\mathcal F_{1}\cup\mathcal F_{2} não é \sigma-álgebra.

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