Para
e
e
duas
-álgebras em
, prove que
é
-álgebra, mas
não é.
Passo 1
O enunciado fala de duas
-álgebras
e
sobre
. Precisamos mostrar:
. A interseção
é uma
-álgebra.
. A união
nem sempre é uma
-álgebra, apresentando um contra-exemplo.
Conteúdo: definição de
-álgebra e propriedades de fechamento (
e vazio, complemento, uniões contáveis).
Passo 2
Mostramos que
é
-álgebra:
. Como
e
contêm
e
, então
.
. Se
, então
e
. Como cada
é
-álgebra,
para
. Logo
.
. Se
, então para todo
,
e
. Como cada
é fechada sob união contável,
Logo
.
Assim
satisfaz as três propriedades e é
-álgebra.
Passo 3
Agora apresentamos um contra-exemplo para mostrar que
pode falhar em ser -álgebra. Definimos sobre
:
,
.
Cada é
-álgebra finita gerada por um ponto de corte.
pode falhar em ser
Cada
Passo 4
Verificamos que
não é fechada sob união contável (nem mesmo sob união finita): tomemos
Então
é o conjunto que vai de
a
com um “buraco”
. Esse conjunto não está em
nem em
, logo não está em
. Falha assim o fechamento sob uniões, característico de
-álgebra.