Calcular, com os dados da tabela abaixo, o índice de preços de Laspeyres com base em 1970 e o índice do “Bureau” com base em 70-71 (média). Utilizando os mesmos métodos desenvolver um índice de preço-base móvel e verificar qual dos índices satisfaz ao critério circular.
PRODUTOS 1970 1971 1972
P Q P Q P Q
Arroz 5 10 6 12 7 10
Feijão 8 20 8 18 8 20
Milho 3 10 3 10 4 12
Batata 2 20 5 20 3 20

Passo 1

O enunciado dá preços P e quantidades Q de quatro produtos em 1970, 1971 e 1972.
Vamos calcular dois tipos de índices de preços:
1. O índice de Laspeyres com base em 1970, dado por
I^L_{t/70} = \frac{\sum_i P_{i,t}\,Q_{i,70}}{\sum_i P_{i,70}\,Q_{i,70}}\times100.
2. O índice “Bureau” com base na média aritmética de 1970–1971, isto é, tomando como base um período duplo cuja média do índice Laspeyres em 1970 e 1971 vale 100, e expressando 1972 em função dessa média.
Em seguida, faremos o índice de base móvel para cada método (usando sempre Laspeyres em cada par de anos adjacentes e o “Bureau” em cada par adjacente) e compararemos o índice direto 1972/1970 com o encadeado para ver qual método satisfaz o critério circular (isto é, encadeado = direto).

Passo 2

Cálculo do índice de Laspeyres com base em 1970:
1971 em relação a 1970:
\sum_i P_{i,71}Q_{i,70} =6\cdot10+8\cdot20+3\cdot10+5\cdot20 =60+160+30+100=350,
\sum_i P_{i,70}Q_{i,70} =5\cdot10+8\cdot20+3\cdot10+2\cdot20 =50+160+30+40=280,
I^L_{71/70}=\frac{350}{280}\times100=125{,}00.
1972 em relação a 1970:
\sum_i P_{i,72}Q_{i,70} =7\cdot10+8\cdot20+4\cdot10+3\cdot20 =70+160+40+60=330,
I^L_{72/70}=\frac{330}{280}\times100\approx117{,}86.

Passo 3

Cálculo do índice “Bureau” com base média 1970–1971:
1) Primeiro, notamos que em 1970 o índice Laspeyres é 100 e em 1971 vale 125.
2) A média aritmética desses dois (base 70–71) é
\overline I^{70\!-\!71} =\frac{100+125}{2}=112{,}5.
3) Para 1972, o índice Laspeyres em 1970 era 117{,}86, logo, tomando a média como base 100, temos
I^{\text{Bureau}}_{72/(70\!-\!71)} =\frac{117{,}86}{112{,}5}\times100\approx104{,}76.

Passo 4

Índice de base móvel pelo método de Laspeyres:
  • de 1970 a 1971 (base 1970): já é I^L_{71/70}=125{,}00.
  • de 1971 a 1972 (base 1971):
\sum_i P_{i,72}Q_{i,71} =7\cdot12+8\cdot18+4\cdot10+3\cdot20 =84+144+40+60=328,
\sum_i P_{i,71}Q_{i,71} =6\cdot12+8\cdot18+3\cdot10+5\cdot20 =72+144+30+100=346,
I^L_{72/71}=\frac{328}{346}\times100\approx94{,}80.
Encadeando:
I^L_{72/70}{}^{\rm enc} =I^L_{71/70}\times\frac{I^L_{72/71}}{100} =125{,}00\times0{,}9480\approx118{,}50.

Passo 5

Índice de base móvel pelo método “Bureau” (média 2 anos adjacentes como base 100):
a) de 1970–1971: média já normalizada a 100 (pois fixamos (100+125)/2=100).
b) de 1971–1972: primeiro, o Laspeyres 1972/1971 vale 94{,}80. A média aritmética de 100 e 94,80 é
\overline I^{71\!-\!72} =\frac{100+94{,}80}{2}=97{,}40.
Para normalizar de modo que essa média seja 100, multiplicamos cada valor por 100/97{,}40. Logo, a contribuição de 1972 nesta etapa é
I^{\text{Bureau}}_{72/(71\!-\!72)} =\frac{94{,}80}{97{,}40}\times100\approx97{,}35.
Encadeando a partir de 1970– 1971=100:
I^{\text{Bureau}}_{72/(70\!-\!71)}{}^{\rm enc} =100\times\frac{97{,}35}{100}=97{,}35.

Passo 6

Comparação direto × encadeado:
  • Laspeyres
    direto I^L_{72/70}\approx117{,}86
    encadeado 118{,}50 ⇒ erro de percurso \neq 0\Rightarrow não satisfaz circular.
  • Bureau (base média)
    direto I^{\text{Bureau}}_{72/(70\!-\!71)}\approx104{,}76
    encadeado 97{,}35 ⇒ também não coincide.
Portanto, nenhum dos dois índices satisfaz o critério circular.

Resposta

Laspeyres base 1970: I^L_{71/70}=125{,}00, I^L_{72/70}\approx117{,}86.
Bureau base média 70–71: I^{\text{Bureau}}_{72/(70\!-\!71)}\approx104{,}76.
Índices de base móvel:
Laspeyres 71/ 70=125,00; 72/ 71\approx 94,80\Rightarrow encadeado \approx 118,50 ( \neq 117,86).
Bureau móvel \approx 97,35 ( \neq 104,76).
Conclusão: nenhum satisfaz o critério circular.

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