Calcule C Rn^0+C Rn^1+C Rn^2+cdots+C Rn^p.

Passo 1

O enunciado pede a soma das combinações de um conjunto de tamanho n tomadas de 0 até p de cada vez, ou seja,
S = sumk=0^p binomnk
O conteúdo principal aqui é a soma parcial dos coeficientes binomiais. Para resolver, vamos usar o Teorema do Binômio para a soma completa e, em seguida, expressar a soma parcial em termos da função beta incompleta (ou função regularizada de distribuição binomial).

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, sabemos que
sumk=0^n binomnk ;=;(1+1)^n;=;2^n
Portanto, a soma completa dos coeficientes binomiais é 2^n. A soma parcial desejada é
S ;=;sumk=0^p binomnk ;=;2^n;-;sumk=p+1^n binomnk
Isso mostra que a soma parcial pode ser obtida subtraindo da soma total os termos excedentes. Mas ainda assim não é uma expressão “fechada” em termos de operações elementares.

Passo 3

Para uma forma mais fechada, introduzimos a função beta incompleta regularizada. Definindo
Ix(a,b);=;Bx(a,b)B(a,b) onde Bx(a,b)=integral0^x t^a-1(1-t)^b-1,dt e B(a,b)=integral0^1 t^a-1(1-t)^b-1,dt,
tem-se a identidade (proveniente da ligação binomial–beta)
sumk=0^p binomnk ;=;2^n;Itfrac12l(p+1,;n-pr)
Aqui, Itfrac12(p+1,n-p) é a parte acumulada da distribuição binomial até p, avaliada em x=tfrac12.

Resposta

boxed sumk=0^p binomnk ;=; 2^n;Itfrac12l(p+1,;n-pr)
Em particular, para p=n isso recupera 2^n, e para p<n temos a expressão em termos da função beta incompleta regularizada.

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