Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede a soma das combinações de um conjunto de tamanho
tomadas de
até
de cada vez, ou seja,
O conteúdo principal aqui é a soma parcial dos coeficientes binomiais. Para resolver, vamos usar o Teorema do Binômio para a soma completa e, em seguida, expressar a soma parcial em termos da função beta incompleta (ou função regularizada de distribuição binomial).
Passo 2
Pelo Teorema do Binômio, sabemos que
Portanto, a soma completa dos coeficientes binomiais é
. A soma parcial desejada é
Isso mostra que a soma parcial pode ser obtida subtraindo da soma total os termos excedentes. Mas ainda assim não é uma expressão “fechada” em termos de operações elementares.
Passo 3
Para uma forma mais fechada, introduzimos a função beta incompleta regularizada. Definindo
tem-se a identidade (proveniente da ligação binomial–beta)
Aqui,
é a parte acumulada da distribuição binomial até
, avaliada em
.
Resposta
Em particular, para
isso recupera
, e para
temos a expressão em termos da função beta incompleta regularizada.