Prove, por indução, o Teorema das Linhas.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que
retas em posição geral (sem duas paralelas e sem três concorrentes) dividem o plano no máximo em
regiões. Vamos usar o princípio da indução e a ideia de contagem de regiões criadas ao adicionar uma reta.
Passo 2
Base da indução (
). Com zero retas não há cortes no plano, portanto existe exatamente uma região. Logo
e isso coincide com a fórmula
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a afirmação seja válida, ou seja,
retas dividem o plano em
regiões.
Passo 4
Passo indutivo. Considere agora
retas em posição geral. A reta nova intersecta cada uma das
retas anteriores em pontos distintos, gerando exatamente
interseções. Esses
pontos fragmentam a nova reta em
segmentos. Cada segmento atravessa uma região distinta do arranjo de
retas, dividindo-a em duas. Portanto, a inclusão da
-ésima reta acrescenta
novas regiões, isto é,
Passo 5
Para finalizar a indução, substituímos a hipótese
na relação do passo anterior:
Assim, a fórmula se mantém para
sempre que vale para
.
Resposta
Para todo
,
retas em posição geral dividem o plano em
regiões, provando o Teorema das Linhas por indução.