Prove, por indução, o Teorema das Linhas.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que n retas em posição geral (sem duas paralelas e sem três concorrentes) dividem o plano no máximo em
R(n)=n(n+1)2+1
regiões. Vamos usar o princípio da indução e a ideia de contagem de regiões criadas ao adicionar uma reta.

Passo 2

Base da indução ( n=0). Com zero retas não há cortes no plano, portanto existe exatamente uma região. Logo
R(0)=1
e isso coincide com a fórmula
0cdot(0+1)2+1=1

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k>=0 a afirmação seja válida, ou seja, k retas dividem o plano em
R(k)=k(k+1)2+1
regiões.

Passo 4

Passo indutivo. Considere agora k+1 retas em posição geral. A reta nova intersecta cada uma das k retas anteriores em pontos distintos, gerando exatamente k interseções. Esses k pontos fragmentam a nova reta em k+1 segmentos. Cada segmento atravessa uma região distinta do arranjo de k retas, dividindo-a em duas. Portanto, a inclusão da (k+1)-ésima reta acrescenta k+1 novas regiões, isto é,
R(k+1)=R(k)+(k+1)

Passo 5

Para finalizar a indução, substituímos a hipótese R(k)=tfrack(k+1)2+1 na relação do passo anterior:
R(k+1) =k(k+1)2+1+(k+1) =k(k+1)+2(k+1)2+1 =(k+1)(k+2)2+1
Assim, a fórmula se mantém para k+1 sempre que vale para k.

Resposta

Para todo n>=0, n retas em posição geral dividem o plano em
R(n)=n(n+1)2+1
regiões, provando o Teorema das Linhas por indução.

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