Prove, por indução, o Teorema das Colunas.
Passo 1
O teorema das colunas afirma que, para toda matriz
e para qualquer coluna fixa
, vale a expansão de Laplace nessa coluna:
onde
é o menor obtido de
removendo a linha
e a coluna
.
Vamos provar isto por indução em , usando a definição de determinante pela fórmula de Leibniz.
Vamos provar isto por indução em
Passo 2
(Base
)
Se , então
e
. O único menor
é a matriz
, cujo determinante é definido como
. Logo
Se
Portanto a propriedade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha agora que a expansão por colunas seja válida para todas as matrizes de ordem . Seja
e fixe uma coluna
. Pela fórmula de Leibniz,
Suponha agora que a expansão por colunas seja válida para todas as matrizes de ordem
Agrupamos essa soma de acordo com o valor de
:
Passo 4
Para cada
, há uma bijeção entre
e as permutações em sobre os índices restantes. Sob essa bijeção, se
corresponde a
, mostra-se que
e as permutações em
Pela hipótese de indução, a soma interna torna-se
Passo 5
Somando sobre
, obtemos exatamente
o que conclui a prova por indução do teorema das colunas.
Resposta
Para toda matriz
e qualquer coluna
,