Prove, por indução, o Teorema das Colunas.

Passo 1

O teorema das colunas afirma que, para toda matriz A=(aij)in Mn(K) e para qualquer coluna fixa jin1,dots,n, vale a expansão de Laplace nessa coluna:
det(A) =sumi=1^n(-1)^i+j,aij,detl(Aijr),
onde Aij é o menor obtido de A removendo a linha i e a coluna j.
Vamos provar isto por indução em n, usando a definição de determinante pela fórmula de Leibniz.

Passo 2

(Base n=1)
Se n=1, então A=(a11) e det(A)=a11. O único menor A11 é a matriz 0times0, cujo determinante é definido como 1. Logo
sumi=1^1(-1)^i+1ai1det(Ai1) =(-1)^1+1,a11cdot1 =a11 =det(A)
Portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha agora que a expansão por colunas seja válida para todas as matrizes de ordem n-1. Seja Ain Mn(K) e fixe uma coluna j. Pela fórmula de Leibniz,
det(A) =sumsigmain Snsgn(sigma),prodk=1^nak,sigma(k)
Agrupamos essa soma de acordo com o valor de sigma(i)=j:
det(A) =sumi=1^n sumsubstacksigmain Snsigma(i)=j sgn(sigma),prodk=1^nak,sigma(k)

Passo 4

Para cada , há uma bijeção entre

e as permutações em sobre os índices restantes. Sob essa bijeção, se corresponde a , mostra-se que
Pela hipótese de indução, a soma interna torna-se

Passo 5

Somando sobre i=1,dots,n, obtemos exatamente
det(A) =sumi=1^n(-1)^i+j,aij,detl(Aijr),
o que conclui a prova por indução do teorema das colunas.

Resposta

Para toda matriz Ain Mn(K) e qualquer coluna j,
det(A) =sumi=1^n(-1)^i+j,aij,detl(Aijr)

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