Calcule

Passo 1

O enunciado pede o valor do somatório
sumk=0^mbinomnkbinomn-km-k,
sendo m<n. O conteúdo aqui é manipular coeficientes binomiais e usar a soma de uma linha do triângulo de Pascal.

Passo 2

Vamos simplificar cada termo do somatório usando definição fatorial:
binomnkbinomn-km-k =n!k!(n-k)!,(n-k)!(m-k)!,(n-m)! =n!k!,(m-k)!,(n-m)!
Por outro lado,
binomnmbinommk =n!m!,(n-m)!,m!k!,(m-k)! =n!k!,(m-k)!,(n-m)!
Logo, para todo k vale
binomnkbinomn-km-k =binomnmbinommk

Passo 3

Substituindo no somatório, obtemos
sumk=0^mbinomnkbinomn-km-k =binomnmsumk=0^mbinommk

Passo 4

Sabemos que a soma dos coeficientes binomiais numa mesma linha é
sumk=0^mbinommk=2^m
Portanto
sumk=0^mbinomnkbinomn-km-k =binomnm,2^m

Resposta

binomnm2^m

Exercícios de Livros Relacionados