Calcule o valor de
sumk=0^n k^2 Cn^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
sumk=0^n k^2binomnk
O conteúdo envolvido são somas envolvendo coeficientes binomiais. Para resolver, vamos usar identidades clássicas de somas binomiais, em particular os resultados para sum kbinomnk e sum k(k-1)binomnk.

Passo 2

Lembramos que a soma dos termos ponderados por k é
sumk=0^n kbinomnk = n,2^n-1
Isso pode ser visto, por exemplo, derivando a identidade sumk=0^nbinomnk=2^n com respeito a um parâmetro.

Passo 3

De modo similar, a soma dos termos ponderados por k(k-1) é
sumk=0^n k(k-1)binomnk = n(n-1),2^n-2
Isso também decorre de derivadas sucessivas da soma binomial.

Passo 4

Observamos que
k^2 = k(k-1) + k
Logo,
sumk=0^n k^2binomnk = sumk=0^n l[k(k-1)+kr]binomnk = sumk=0^n k(k-1)binomnk + sumk=0^n kbinomnk

Passo 5

Substituindo os resultados dos passos anteriores,
sumk=0^n k^2binomnk = n(n-1),2^n-2 + n,2^n-1
Fatorando n,2^n-2,
n(n-1),2^n-2 + n,2^n-1 = n,2^n-2l[(n-1) + 2r] = n(n+1),2^n-2

Resposta

sumk=0^n k^2binomnk = n(n+1),2^n-2

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